\(A=11^{n+2}+12^{2n+1}\)

\(=11^n.121+12^{2n}.12\)

\(=11^n\left(133-12\right)+144^n.12\)

\(=133.11^n-12.12^n+144^n.12\)

\(=133.11^n-12\left(144^n-11^n\right)\)

Vì \(133.11^n⋮133;144^n-11^n⋮\left(144-11\right)\Rightarrow144^n-11^n⋮133\)

\(\Rightarrow133.11^n-12\left(144^n-11^n\right)⋮133\) hay \(A⋮133\)

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

\(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}=3^{n+1}\left(3^2+1\right)+2^{n+2}\left(2+1\right)\)

\(=3^{n+1}.10+2^{n+2}.3=3^n.3.5.2+2^{n+1}.2.3\)\(=\left(5.3^n+2^{n+1}\right).6⋮6\)

Vậy .............

Ta có: 3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²=3ⁿ(3³+3)+2ⁿ⁺¹(2²+2)=3ⁿ.30+2ⁿ⁺¹.6=6.(3ⁿ.5+2ⁿ⁺¹) => Chia hết cho 6 với mọi n

Có ai đọc câu hỏi ko vậy? hay đọc mà thiếu chữ quy nạp :((

Các bn xem thử cách này nhá: Với n=1, ta có:

3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 =34 +32+24+23 
=114⋮6  Mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề đúng với n
=> 3n+ 3+ 3n +1+2n+3+2n+2⋮6(∀n∈Z)
=>3(3n+3+3n+1+2n+3+2n+2) ⋮6
=3n+4+3n+2+3. 2n+3+3.2n+2⋮6
=3(n+1)+3+3(n+1)+1+2(n+1)+3+2(n+1)+2+2n+3+2n+2⋮6
=3(n+1)+3+3(n+1)+1+2(n+1)+3+2(n+1)+2+2n+2(2+1) ⋮6
=3(n+1)+3+3(n+1)+1+2(n+1)+3+2(n+1)+2+3.2n+2 ⋮6
Mà: 3.2n+2 ⋮6
=>3(n+1)+3+3(n+1)+1+2(n+1)+3+2(n+1)+2⋮6
=>Nếu mệnh đề đúng với n thì nó đúng với n+1.Vậy nó đúng với mọi giá trị n là số nguyên 
Kết luận:3n+3+3n+1+2n+3+2n+2⋮6(∀n∈Z)

# Nguồn: Nguyễn Phong

Câu 1:

Ta có: \(55^{n+1}+55^n\)

\(=55^n\left(55+1\right)=55^n\cdot56⋮56\)(đpcm)

Câu 2:

Ta có: \(5^6-10^4=\left(5^3-10^2\right)\left(5^3+10^2\right)\)

\(=\left(5^2\cdot5-5^2\cdot2^2\right)\cdot\left(5^2\cdot5+5^2\cdot2^2\right)\)

\(=5^2\cdot\left(5-2^2\right)\cdot5^2\cdot\left(5+2^2\right)\)

\(=5^4\cdot9=5^3\cdot45⋮45\)(đpcm)

c) +) giả sử k chẵn--> k² chẵn --> k²-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k² lẻ --> k²-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x²=(-4)²=16>9(ko thỏa đề)