a) Vì \(AM = MB \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB\) (do \(M\) thuộc \(AB\))

\( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\);

Vì \(AN = NC \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AC\) (do \(N\) thuộc \(AC\))

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

b) Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) nên áp dụng định lí Thales đảo ta được \(MN//BC\).

c) Xét tam giác \(ABC\) có \(MN//BC\) nên áp dụng hệ quả định lí Thales ta được \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)

Mà \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (điều phải chứng minh).

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM=MD

Xét tam giác AMB VÀ TAM GIÁC DMC có

MB=MC(gt)

AM=MD(cách dựng)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(ĐÓI ĐỈNH)

\(\Rightarrow\)Tam giác AMB=Tam giác BMC(c-g-c)

\(\Rightarrow\)AB=CD(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACD có

AD<CD+AC(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\)AD<AB+AC(VÌ AB=CD)

Mà AD=AM+MD=2AM

\(\Rightarrow2AM< AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)(ĐPCM)

Kẻ đoạn thẳng AM

Trên tia AM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của AK

=> MA = MK = AK/2 => 2AM = AK

M là trung điểm của BC ( gt ) => MB = MC

Xét tam giác AMB và tam giác KMC có :

MA = MK ( cmt )

AMB = KMC ( đối đỉnh )

MB = MC ( cmt )

Do đó tam giác AMB = tam giác KMC ( c . g . c )

=> AB = CK ( 2 cạnh tương ứng )

CÓ AK < AC + CK ( bất đẳng thức trong tam giác )

hay 2AM < AC + AB

=> AM < \(\frac{AC+AB}{2}\)( dpcm )

Vậy ...

Sửa đề \(AM< \frac{AB+AC+BC}{2}\)

Có AM<AB+BM(BĐT tam giác)

AM<AC+MC(BĐT tam giác)

=> 2AM<AB+AC+BM+MC=AB+AC+BC

k mk đi làm ơn 

mk đang bị âm điểm

Áp dụng bất đẳng thức tam giác với hai tam giác AMB và AMC ,ta lần lượt có :

                          AM > AB - BM

                          AM > AC - MC

Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức trên,ta có :

2AM > AB + AC - (BM + MC) = AB + AC - BC hay \(AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\)                (1)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta DMC\)có :

AM = DM(gt)

MB = MC(gt)

\(\widehat{M}\)chung

=> \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)(hai góc tương ứng)

=> CD = AB(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACD\),theo bất đẳng thức tam giác ta có :

AD < AC + CD

=> \(2AM< AC+AB\)

=> \(AM< \frac{AB+AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA

Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta DMC\):

MB=MC(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(đối đỉnh)

BM=CM(gt)

=> \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c.-g-c\right)\)

=> DC=AB=c

Xét \(\Delta ACD\)có: AD<AC+DC

=> 2AM<b+c

=> \(AM< \frac{b+c}{2}\)

=> Đpcm

P/s:Phần này là phần BĐT tam giác ý, dễ mà:>