a: Xet ΔMNE và ΔMPE có

MN=MP

NE=PE

ME chung

=>ΔMNE=ΔMPE

b: Xét ΔMHE vuông tại H và ΔMKE vuông tại K có

ME chung

góc HME=góc KME

=>ΔMHE=ΔMKE

=>EH=EK

c: MH=MK

EH=EK

=>ME là trung trực của HK

a, xét \(\Delta\)BEM và \(\Delta\)CFM có:

           \(\widehat{B}\)=\(\widehat{C}\)(gt)

           BM=CM(trung tuyến AM)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BEM=\(\Delta\)CFM(CH-GN)

b,Ta có \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)ACM(c.c.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{CAM}\)

Gọi O là giao của AM và EF

xét tam giác OAE và tam giác OAF có:

              AO cạnh chung

             \(\widehat{OAE}\)=\(\widehat{OAF}\)(cmt)

     vì AB=AC mà EB=FC nên AE=AF

\(\Rightarrow\)tam giác OAE=tam giác OAF(c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AOE}\)=\(\widehat{AOF}\)mà 2 góc này ở vị trí kề bù nên\(\widehat{AOE}\)=\(\widehat{AOF}\)=90 độ(1)

\(\Rightarrow\)OE=OF suy ra O là trung điểm EF(2)

từ (1) và (2) suy ra AM là đg trung trực của EF

c, vì \(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{CAM}\)=> AM là p/g của \(\widehat{BAC}\)(1)

ta có tam giác BAM=tam giác CAM(c.g.c)

=> AD là p/g của góc BAC(2)

từ (1) và(2) suy ra AM và AD trùng nhau nên A,M,D thẳng hàng

a, Ta có : Tam giác ABC cân tại A => Góc B=Góc C

Xét tam giác BEM vuông tại E và tam giác CFM vuông tại F

BM=CM (BM là trung tuyến)

Góc B=Góc C

=> Tam giác BEM=Tam giác CFM(ch-gn)

b,Từ a, \(\Delta\)BEM=\(\Delta CFM\)=> ME=MF (1);BE=FC

Mà AB=AC=> AE=AF(2)

Từ 1 và 2 => AM là trung trực của EF

c, Xét tam giác ABD vuông tại B và tam giác ACD vuông tại C

AD chung

AB=AC 

=> Tam giác ABD=Tam giác ACD (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>BD=DC

Mà BA=CA

=>AD là trung trực của BC

Mà AM cũng là trung trực của BC(Tam giác ABC cân)

=> A;D;M thẳng hàng

a: Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

a, xét tma giác MNE và tam giác MPE có :

MN = MP và góc MNE = góc MPE do tam giác MNP cân tại M (Gt)

NE = EP do E là trđ của NP (gt)

=> tam giác MNE = tam giác MPE (c-g-c)

=> góc MEN = góc MEP (đn)

mà góc MEN + góc MEP = 180 (kb)

=> góc MEN = 90

=> MN _|_ NP và có M là trđ của PN (Gt)

=> ME là trung trực của NP (đn)

b, xét tam giác MKE và tam giác MHE có : ME chung

góc NME = góc PME do tam giác MNE = tam giác MPE (Câu a)

góc MKE = góc MHE = 90

=> tam giác MKE = tam giác MHE (ch-cgv)

=> MK = MH (đn)

=> tam giác MHK cân tại M (đn)

=> góc MKH = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

tam giác MNP cân tại M (Gt) => góc MNP = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

=> góc MKH = góc MNP mà 2 góc này đồng vị

=> KH // NP (đl)

gfvfvfvfvfvfvfv555

gọi $J$ là giao điểm của $DE,AC$, ta có $BCDJ $là hình thoi nên $BC\parallel JD$, $JA=AC=2CF\Rightarrow 3CF=JF$, theo Thales ta có \(\dfrac{BC}{EJ}=\dfrac{CF}{JF}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow JE=3BC\), mà $JD=BC$ nên suy ra $DE=2BC$, hay $EG=DG=BC$, dẫn đến $BCEG,BCGD$ là hình bình hành, suy ra $H$ là trung điểm $CD,I$ là trung điểm $CG$, theo tính chất đường trung bình ta có \(IH=\dfrac{1}{2}DG=\dfrac{1}{4}DE\)

a: Xét tứ giác ABHC có

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AH

Do đó: ABHC là hình bình hành

mà AB=AC

nên ABHC là hình thoi