Ta có: AN ⊥ NC (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

A O 2 = A N 2 + O N 2

Suy ra : A N 2 = A O 2 - O N 2 = 5 2 - 3 2  = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: MH = NH = MN/2 (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có NH ⊥ AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA.NH = AN.ON ⇒ NH = (AN.ON)/AO = (4.3)/5 = 2,4 (cm)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

a) Xét (O) có 

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AM=AN(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OM=ON(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(đpcm)

b) Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))

NC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)

⇒MN⊥MC

Ta có: MN⊥MC(cmt)

MN⊥AO(cmt)

Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:

\(OA^2=OM^2+MA^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)

hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)

mà AM=AN(cmt)

nên AN=4cm

Gọi H là giao điểm của MN và AO

mà MN⊥AO tại trung điểm của MN

nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:

\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)

\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)

hay MH=2,4cm

mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)

nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)

Chu vi tam giác AMN là: 

\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)

a,theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau thì \(MA=NA\Rightarrow\Delta AMN\) cân và \(OA\) la p/g cua goc MAN \(\Rightarrow AO\) là dg p/g đóng vai vai trò đg cao \(\Rightarrow AO\perp MN\)

b,tam giác CMN có CN là đg kính nên tam giác CMN là tam giác vuông nên goc CMO +goc OMN =90 mat khác góc OMN+góc AOM =90 (MN \(\perp\) OA)\(\Rightarrow\)góc CMO =goc AOM(cùng phụ góc OMN) ở vị trí so le trong nên MC song song voi AO

C,xet \(\Delta OMA\) có \(AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\Rightarrow AN=AM=4\)

va MH=\(\frac{MA.MO}{OA}=\frac{4.3}{5}=2.4\Rightarrow MN=2MH=4.8\)

mình làm có gì sai mong bạn bỏ qua

a: Gọi giao điểm của MN với OA là H

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

Do đó: AM=AN và AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\)

AO là phân giác của góc MAN

=>\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(1)

AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO vuông góc với MN tại trung điểm của MN

=>AO vuông góc với MN tại H và H là trung điểm của MN

ΔAMO vuông tại M

=>\(MA^2+MO^2=OA^2\)

=>\(MA^2+3^2=5^2\)

=>\(MA^2=5^2-3^2=16\)

=>MA=4(cm)

Chu vi tứ giác OMAN là:

OM+MA+AN+ON

=3+4+4+3

=6+8=14(cm)

Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot OA=MO\cdot MA\)

=>\(MH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>MH=2,4(cm)

H là trung điểm của MN

=>MN=2*MH

=>MN=2*2,4

=>MN=4,8(cm)

b: SO\(\perp\)OM

MA\(\perp\)OM

Do đó: SO//MA

=>\(\widehat{SOA}=\widehat{MAO}\)

mà \(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)(cmt)

nên \(\widehat{SOA}=\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)

=>\(\widehat{SOA}=\widehat{SAO}\)

=>SA=SO

Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)

Vậy OA ⊥ MN.