b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+\left(m-2\right)x-m^2-1=0\)

\(ac=-m^2-1< 0\)

Do đó: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Giải:

Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:

\(x^2-2x+m^2-9=0\left(1\right)\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow m^2-9< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3< 0\\m+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m>-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-3< m< 3.\) Vậy....

ta có pt hoành độ giao điểm

\(x^2=2x-m^2+9\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m^2-9=0\)

ta có \(\Delta'=10-m^2\)

để pt có 2 no phân biệt thì \(\Delta'>0\)

hay \(10-m^2>0\Rightarrow-\sqrt{10}< x< \sqrt{10}\)

theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=m^2-9\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\)

để thỏa điều kiện thì \(x_1;x_2\) cùng dương

vậy \(x_1x_2\ge0\Leftrightarrow m^2-9\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

kết hợp điều kiện ta suy ra

để thỏa điều kiện thì \(\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{10}< x\le-3\\3\le x< \sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

1. PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x-m^2+9)=0\Leftrightarrow x^2-2x+m^2-9=0(*)$

Khi $m=1$ thì pt trên trở thành: $x^2-2x-8=0$

$\Leftrightarrow (x-4)(x+2)=0\Rightarrow x=4$ hoặc $x=-2$

Khi $x=4\Rightarrow y=x^2=16$. Giao điểm thứ nhất là $(4,16)$

Khi $x=-2\Rightarrow y=x^2=4$. Giao điểm thứ hai là $(-2,4)$

2. $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt (hai nghiệm ấy chính là giá trị của 2 hoành độ giao điểm)

$\Leftrightarrow \Delta'=1-(m^2-9)>0\Leftrightarrow 10>m^2(1)$

Hai giao điểm nằm về phía của trục tung, nghĩa là 2 hoành độ giao điểm $x_1,x_2$ trái dấu. Điều này xảy ra khi $x_1x_2< 0\Leftrightarrow m^2-9< 0(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $m^2-9< 0\Leftrightarrow -3< m< 3$

a) pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2x+3-m^2=0\) 

Để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta'>0\)

\(\Delta'=1+m^2-3\Rightarrow m^2-2>0\Rightarrow\left|m\right|>\sqrt{2}\)

b) Gọi giao điểm là \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)

\(\Rightarrow A\left(x_1,x_1^2\right);B\left(x_2,x_2^2\right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=3-m^2\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(y_1-y_2=8\Rightarrow x_1^2-x_2^2=8\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=8\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=4>0\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-8\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=\sqrt{4m^2-8}\left(x_1-x_2>0\right)\Rightarrow4=\sqrt{4m^2-8}\)

\(\Rightarrow4m^2-8=16\Rightarrow m=\pm\sqrt{6}\)

a: Thay x=0 và y=-5 vào (d), ta được:

2(m+1)*0-m^2-4=-5

=>m^2+4=5

=>m=1 hoặc m=-1

b:

PTHĐGĐ là;

x^2-2(m+1)x+m^2+4=0

Δ=(2m+2)^2-4(m^2+4)

=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12

Để PT có hai nghiệm phân biệt thì 8m-12>0

=>m>3/2

x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+4

(2x1-1)(x2^2-2m*x2+m^2+3)=21

=>(2x1-1)[x2^2-x2(2m+2-2)+m^2+4-1]=21

=>(2x1-1)[x2^2+2x2-x2(x1+x2)+x1x2-1]=21

=>(2x1-1)(x2^2+2x2-x1x2-x2^2+x1x2-1]=21

=>(2x1-1)(2x2-1)=21

=>4x1x2-2(x1+x2)+1=21

=>4(m^2+4)-2(2m+2)+1=21

=>4m^2+16-4m-4-20=0

=>4m^2-4m-8=0

=>(m-2)(m+1)=0

=>m=2(nhận) hoặc m=-1(loại)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=2x+a\Leftrightarrow x^2-2x-a=0\) (1)

d và (P) không có điểm chung khi và chỉ khi (1) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta'=1+a< 0\Rightarrow a< -1\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x+a\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-a=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-a\right)=4a+4\)

Để phương trình vô nghiệm thì 4a+4<0

hay a<-1

Bài 1: 

a) Để (d) đi qua A(1;-9) thì

Thay x=1 và y=-9 vào (d), ta được:

\(3m\cdot1+1-m^2=-9\)

\(\Leftrightarrow-m^2+3m+1+9=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m+2m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-5\right)+2\left(m-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-5=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Để (d) đi qua A(1;-9) thì \(m\in\left\{5;-2\right\}\)