Đáp án là C

a.

Do (P) đi qua F, thay tọa độ F vào phương trình (P) ta được:

\(a.0^2+b.0+c=5\Rightarrow c=5\)

Do (P) có đỉnh \(I\left(3;-4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=3\\a.3^2+b.3+c=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6a\\9a+3b+5=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6a\\9a+3.\left(-6a\right)=-9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\)

hay pt (P) có dạng: \(y=x^2-6x+5\)

b. Em tự giải

Chọn C.

Lời giải:

Đỉnh của đths là $(\frac{-b}{2a}, 4-\frac{b^2}{4a})=(1,-2)$

$\Rightarrow \frac{-b}{2a}=1; 4-\frac{b^2}{4a}=-2$

$\Rightarrow -b=2a; b^2=24a$

$\Rightarrow a=0$ hoặc $a=6$

Nếu $a=0$ thì $b=-2a=0$. Khi đó đths $y=4$ là đường thẳng song song với trục hoành, không có đỉnh I(1,-2)$

Nếu $a=6$ thì $b=-2a=-12$. Khi đó: $a+3b=6+3(-12)=-30$

(P) có đỉnh I(1;1) và đi qua A(2;3) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=1\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=1\\a\cdot2^2+b\cdot2+c=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\b^2-4ac=-4a\\4a+2b+c=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\4a+2\cdot\left(-2a\right)+c=3\\b^2-4ac=-4a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}c=3\\b=-2a\\4a^2-12a+4a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\4a^2-8a=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}c=3\\4a\left(a-2\right)=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\\b=-2\cdot2=-4\end{matrix}\right.\)

=>c=3;a=2;b=-4

=>\(S=3^2+2^2+\left(-4\right)^2=25+4=29\)

=>Chọn C

Vì parabol đi qua \(I\left(-2;1\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{2a}=2\\-\dfrac{\Delta}{4a}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b=0\\b^2-4ac-4a=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\16a^2-4ac-4a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a-c=1\left(a\ne0\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a=1+c\end{matrix}\right.\)

Mà parabol cắt \(y=x-1\) tại 1 điểm trên trục tung nên \(x=0\Leftrightarrow y=1\)

\(\Leftrightarrow c=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=2\end{matrix}\right.\)

Vậy parabol là \(y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+1\)

Bài 2: 

Ta có: \(\dfrac{-\text{Δ}}{4a}=-3\)

\(\Leftrightarrow-\text{Δ}=-12a\)

\(\Leftrightarrow b^2-4a=12a\)

\(\Leftrightarrow b^2-16a=0\left(1\right)\)

Thay x=-1 và y=6 vào (P), ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)+1=6\)

\(\Leftrightarrow a-b=5\)

\(\Leftrightarrow a=b+5\)(2)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(b^2-16\left(b+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b^2-16b+64-144=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-8\right)^2=144\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=20\\b=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=25\\a=1\end{matrix}\right.\)