Cho các số:\(a_1;a_2;a_3;........;a_n\)thỏa mãn ; mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1
và \(a_1\cdot a_2+a_2\cdot a_3+a_3\cdot a_4+....+a_n\cdot a_1=0\). Hỏi n có bằng 2006 được hay không
vì sao
Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.
Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\) \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:
a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)
b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)
a) Đặt \(d=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=dx_1\\a_2=dx_2\\...\\a_n=dx_n\end{matrix}\right.\) (với \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\)).
Ta có \(A_i=\dfrac{A}{a_i}=\dfrac{d^nx_1x_2...x_n}{dx_i}=d^{n-1}\dfrac{x_1x_2...x_n}{x_i}=d^{n-1}B_i\forall i\in\overline{1,n}\).
Từ đó \(\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d^{n-1}\left[B_1,B_2,...,B_n\right]\).
Mặt khác do \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\Rightarrow\left[B_1,B_2,...B_n\right]=x_1x_2...x_n\).
Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d.d^{n-1}x_1x_2...x_n=d^nx_1x_2...x_n=A\).
Cho các số nguyên \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\). Đặt \(S=a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_n^3\) và \(P=a_1+a_2+a_3+...+a_n\). Chứng minh rằng \(S⋮6\) khi \(P⋮6\)
\(S-P=a_1^3-a_1+a_2^3-a_2+...+a_n^3-a_n\)
\(=a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)+a_2\left(a_2-1\right)\left(a_2+1\right)+...+a_n\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)\)
Do \(a_k\left(a_k-1\right)\left(a_k+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6
\(\Rightarrow S-P⋮6\)
Mà \(P⋮6\Rightarrow S⋮6\)
cho các số \(0< a_1< a_2< a_3< ...< a_{15}\) chứng mình rằng \(\dfrac{a_1+a_2+a_3+...+a_{15}}{a_5+a_{10}+a_{15}}< 5\)
Ta có `: 0 < a_1 < a_2 < a3<....<a15`
`->` \(\begin{cases} a_1+ a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 5a_5\\a_6+ a_7 + a_8 + a_9 + a_10 < 5a_{10}\\ a_{11}+ a_{12} + a_{13}+ a_{14} + a_{15} < 5a_{15}\end{cases} \)
`-> a_1 + a_2 + ..... + a_{15} < 5( a_5 + a_{10} + a_{15} )`
`-> ( a_1 + a_2 + ..... + a_{15} )/( a_5 + a_{10}+a_15 ) <5` (đpcm)
Cho các số nguyên \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2015}\)thỏa mãn \(a_1+a_2+a_3+...+a_{2015}=0\)
Và \(a_1+a_2=a_3+a_4=...=a_{2015}+a_1=1\). Vậy \(a_1=?\)
\(a_1+a_2+a_3+..+a_{2015}=0\)\(0\)
\(\Rightarrow\left(a_1+a_2\right)+...+\left(a_1+a_{2015}\right)\)\(=\frac{\left(2015-1\right)}{2}+1=1008\)
\(\Rightarrow a_1+\left(a_1+a_2+..+a_{2015}\right)=1008\)
\(\Rightarrow a_1=1008\)
Ta có:
\(a_1+a_2+...+a_{2015}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1+a_2\right)+\left(a_3+a_4\right)+...+\left(a_{2013}+a_{2014}\right)+\left(a_{2015}+a_1\right)-a_1=0\)
\(\Leftrightarrow1+1+...+1-a_1=0\)
\(\Leftrightarrow1008-a_1=0\)
\(\Leftrightarrow a_1=1008\)
Theo giả thiết, ta có:
\(a_1+a_2=a_3+a_4=...=a_{2015}+a_1=1\)
\(\Rightarrow\left(a_1+a_2\right)+\left(a_3+a_4\right)+...+\left(a_{2015}+a_1\right)=1.\left[\frac{\left(2015-1\right)}{2}+1\right]=1008\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{2015}\right)+a_1=1008\)
\(\Leftrightarrow0+a_1=1008\Rightarrow a_1=1008\)
Thực ra mình lập câu hỏi này để giải một bài toán mình từng hỏi cho mọi người tham khảo, thì có một bạn nhờ mình giải.
Link : http://olm.vn/hoi-dap/question/715065.html
Thấy Online Math chọn thì không nỡ bỏ quên :v
Đề : Chia số \(2013^{2016}\) thành tổng các số tự nhiên.
Tìm số dư của tổng lập phương các số tự nhiên đó cho 6.
Bài này chủ yếu là đánh lừa các bạn, vì không rõ ràng ở phần " tổng các số tự nhiên", chúng ta chẳng biết tổng của các số nào cả, có rất nhiều cách chia như vậy. Với những bài có dạng như này, mẹo là các bạn đưa về dạng tổng quá, sẽ dễ dàng chứng minh được.
Cách giải :
Đặt \(2013^{2016}=a_1+a_2+...+a_n\)
Tổng lập phương các số tự nhiên này là :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\)
Có :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)
\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+...+a_n\left(a_n^2-1\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)
Thấy \(\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right);\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right);...;\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng chứng minh nó chia hết cho 6.
Do đó \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\) chia hết cho 6, tức \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) có cùng số dư với \(2013^{2016}\left(=a_1+a_2+...+a_n\right)\) khi chia cho 6.
Các bạn tự tìm số dư, vì phần còn lại khá đơn giản :)
Cho \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=.....=\frac{a_{100}}{a_1}.\)Tính M=\(\frac{a_1^2+a_2^2+_{a_3}^2+....+a_{100}^2}{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)^2}\)biết tất cả các số \(a_1,a_2,a_3,...,a_{100}\) là số dương
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{100}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{a_1+a_2+...+a_{100}}=1\)\(\Rightarrow\)\(a_1=a_2=...=a_{100}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{100}^2}{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)^2}=\frac{100a_1^2}{100^2a_1^2}=\frac{1}{100}\)
cho các số nguyên\(a_1+a_2+a_3+.....+a_{2003}\)
thỏa mãn: \(a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=......=a_{2001}+a_{2002}=a_{2003}+a_1=1\)
tính \(a_1;a_{2003}\)
Cho 20 số nguyên khác 0:\(a_1;a_2;a_3;...;a_{20}\)có các tính chất sau :
\(a_1\)là số dương
tổng của 3 số viết liền nhau bất kì là số dương
tổng của 20 số đó là số âm
CMR : \(a_1\cdot a_{14}+a_{14}\cdot a_{12}< a_1\cdot a_{12}\)
Cho các số nguyên\(a_1;a_{2;...;}a_{2015}\)thỏa mãn \(a_{1+}a_2+a_3+...+a_{2015}=0\)
Và\(a_1+a_2=a_3+a_4=....=a_{2015}+a_1=1\)Vậy A =???
Ta thấy : \(a_1+a_2+a_3+.....+a_{2015}+a_1=1008.1=1008\)
Mà \(a_1+a_2+a_3+......+a_{2015}=0\)
\(\Rightarrow a_1+\left(a_1+a_2+a_3+....+a_{2015}\right)=1008\Leftrightarrow a_1+0=1008\) \(\Rightarrow a_1=1008\)
cho các số nguyên dương: \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2013}\) sao cho:
\(N=a_1+a_2+a_3+...+a_{2013}\) chia hết cho 30.
chứng minh: \(M=a_1^5+a_2^5+a_3^5+...+a_{2013}^5\) chia hết cho 30.