\(cos^2x-sin2x=\sqrt{2}+sin^2x\)

\(\Leftrightarrow cos^2x-sin^2x-sin2x=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow cos2x-sin2x=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\)

\(0< -\frac{\pi}{8}+k\pi< 3\pi\Rightarrow\frac{1}{8}< k< \frac{25}{8}\Rightarrow k=\left\{1;2;3\right\}\)

Có 3 nghiệm

Bài 1:

ĐK : sinx cosx > 0

Khi đó phương trình trở thành

sinx+cosx=\(2\sqrt{\sin x\cos x}\)

ĐK sinx + cosx >0 → sinx>0 ; cosx>0

Khi đó \(2\sqrt{\sin x\cos x}\Leftrightarrow2\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Vậy ...

Bài 2:

ĐK : \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\ge0\)

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin2x=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Trong khoảng từ \(\left(-\pi,\pi\right)\) ta nhận được các giá trị :

\(x=\frac{\pi}{12}\) (TMĐK)

\(x=-\frac{11\pi}{12}\) (KTMĐK)

\(x=\frac{5\pi}{12}\) (KTMĐK)

\(x=-\frac{7\pi}{12}\) (TMĐK)

Vậy ta có 2 nghiệm thõa mãn \(x=\frac{\pi}{12}\) và \(x=-\frac{7\pi}{12}\)

\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt[]{3}sin2x-cos2x\)

\(\Leftrightarrow4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left[sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}+x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2.\left[\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.sin2x-\dfrac{1}{2}.cos2x\right]\)

\(\Leftrightarrow2\left[sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2.2sin2x.cos\dfrac{\pi}{6}=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2.2sin2x.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{3}sin2x.=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow sin2x.=\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

\(\left|\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\right|\le1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\ge-1\\\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\ge-2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\left(luôn.đúng\right)\\m^2\le2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\le m\le\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\)

\(\Leftrightarrow\cos4x+\cos2x+\sqrt{3}\left(1+\sin2x\right)=\sqrt{3}\left(1+\cos\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow\cos4x+\sqrt{3}\sin4x+\sqrt{3}\sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{\pi}{18}+k\frac{\pi}{3}\\x=\frac{\pi}{2}+k\pi\end{cases}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=-\frac{\pi}{18}+k\frac{\pi}{3}\) và \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

a/ Hmm, bạn có nhầm lẫn chỗ nào ko nhỉ, nghiệm của pt này xấu khủng khiếp

b/ \(\Leftrightarrow sin\frac{5x}{2}-cos\frac{5x}{2}-sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=cos\frac{3x}{2}\)

\(\Leftrightarrow2cos\frac{3x}{2}.sinx-2cos\frac{3x}{2}cosx=cos\frac{3x}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\frac{3x}{2}\left(2sinx-2cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos\frac{3x}{2}\left(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=0\)

c/ Do \(cosx\ne0\), chia 2 vế cho cosx ta được:

\(3\sqrt{tanx+1}\left(tanx+2\right)=5\left(tanx+3\right)\)

Đặt \(\sqrt{tanx+1}=t\ge0\)

\(\Leftrightarrow3t\left(t^2+1\right)=5\left(t^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^3-5t^2+3t-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(3t^2+t+5\right)=0\)

d/ \(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)

Đặt \(x+\frac{\pi}{3}=a\Rightarrow2x=2a-\frac{2\pi}{3}\Rightarrow2x-\frac{\pi}{3}=2a-\pi\)

\(\sqrt{2}sina=-sin\left(2a-\pi\right)=sin2a=2sina.cosa\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sina\left(\sqrt{2}cosa-1\right)=0\)

3.

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx-\dfrac{1}{2}cosx=cos3x\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=sin\left(\dfrac{\pi}{2}-3x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}-3x+k2\pi\\x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)

câu 2 mình sửa lại đề bài một chút là: sin(cosx)=1 ạ

1.

\(sin\left(sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx=k\pi\) (1)

Do \(-1\le sinx\le1\Rightarrow-1\le k\pi\le1\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\pi}\le k\le\dfrac{1}{\pi}\Rightarrow k=0\) do \(k\in Z\)

Thế vào (1)

\(\Rightarrow sinx=0\Rightarrow x=n\pi\)

2.

\(sin\left(cosx\right)=1\Leftrightarrow cosx=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

Do \(-1\le cosx\le1\Rightarrow-1\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le1\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{2\pi}-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{1}{2\pi}-\dfrac{1}{4}\) 

\(\Rightarrow\) Không tồn tại k thỏa mãn

Pt vô nghiệm