Ôn tập: Phương trình bâc nhất một ẩn

Câu 3: 

Ta có: \(1< \dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-2}{3}< \dfrac{7}{5}\)

\(\Leftrightarrow1< \dfrac{3x+3-5x+10}{15}< \dfrac{7}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-2x+13}{15}>1\\\dfrac{-2x+13}{15}< \dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+13>15\\-2x+13< 21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x>2\\-2x< 8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\x>-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-4< x< -1\)

Bài 4: 

Sửa đề: \(\left(x+2\right)^2-\left(x-3\right)\left(x+3\right)< =40\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4-x^2+9< =40\)

=>4x<=27

hay x<=27/4

\(x^4-2x^2-144x-1295=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(4x^2+144x+1296\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-\left(2x+36\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1+2x+36\right)\left[x^2+1-\left(2x+36\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+37\right)\left(x^2-2x-35\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x-7x-35\right)\left(x^2+2x+1+36\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(x+5\right)-7\left(x+5\right)\right]\left[\left(x+1\right)^2+36\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-7\right)\left[\left(x+1\right)^2+36\right]=0\)

Dễ thấy:\(\left(x+1\right)^2+36\ge36>0\forall x\) (vô nghiệm)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=0\\x-7=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=7\end{matrix}\right.\)

1) Ta có: 3x²+10xy+8y²=96

<=> 3x²+6xy+4xy+8y²=96

<=> 3x(x+2y)+4y(x+2y)=96

<=> (x+2y)(3x+4y)=96

( x,y là số nguyên)

lại có: 3x+4y-(x+2y)=2x+2y là số chẵn

=> 3x+4y và x+2y cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ (*)

mà (x+2y)(3x+4y)=96 là số chẵn

=> 3x+4y và x+2y cùng là số chẵn hoặc là một chẵn một lẻ (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

3x+4y và x+2y cùng là số chẵn

=> ta có bảng sau:

vậy nghiệm của pt như trên

1)Ta có:

\(A=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^2\left(x+1\right)+x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{3}{x^2+1}\)

Mà: \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{3}{x^2+1}\le\dfrac{3}{1}=3\)

\(\Rightarrow MaxA=1\) khi \(x=0\)

Ta có: \(\dfrac{x^2-10x-29}{1971}+\dfrac{x^2-10x-27}{1973}=\dfrac{x^2-10x-1971}{29}+\dfrac{x^2-10x-1973}{27}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2-10x-27}{1973}-1\right)+\left(\dfrac{x^2-10x-29}{1971}-1\right)=\left(\dfrac{x^2-10x-1971}{29}-1\right)+\left(\dfrac{x^2-10x-1973}{27}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x-2000}{1973}+\dfrac{x^2-10x-2000}{1971}=\dfrac{x^2-10x-2000}{29}+\dfrac{x^2-10x-2000}{27}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-2000\right)\left(\dfrac{1}{1973}+\dfrac{1}{1971}-\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{27}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-2000\right)=0\) vì \(\left(\dfrac{1}{1973}+\dfrac{1}{1971}-\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{27}\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow x^2-50x+40x-2000=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-50\right)+40\left(x-50\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-50\right)\left(x+40\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-50=0\\x+40=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\\x=-40\end{matrix}\right.\)

Vậy: Giá trị x thỏa mãn là: \(x=-40;50\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x-29}{1971}-1+\dfrac{x^2-10x-27}{1973}-1=\dfrac{x^2-10x-1971}{29}-1+\dfrac{x^2-10x-1973}{27}-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x-2000}{1971}+\dfrac{x^2-10x-2000}{1973}=\dfrac{x^2-10x-2000}{29}+\dfrac{x^2-10x-2000}{27}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-2000\right)\left(\dfrac{1}{1971}+\dfrac{1}{1973}-\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{27}\right)=0\)

vì \(\dfrac{1}{1971}+\dfrac{1}{1973}-\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{27}\ne0\)

Nên \(x^2-10x-2000=0\)

<=> \(x^2-50x+40x-2000=0\)

<=> \(x\left(x-50\right)+40\left(x-50\right)=0\)

<=> \(\left(x-50\right)\left(x+40\right)=0\)

<=> \(x=50\) hoặc \(x=-40\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{50;-40\right\}\)

Gọi độ dài quãng đường mà người đó đi với vận tốc 5km/h là x ( km) (x>0, x\(\le\) 18)

=> độ dài quãng đường mà người đó đi với vận tốc 4km/h là 18-x (km)

=> tgian người đó đi với vận tốc 5km/h là \(\dfrac{x}{5}\) (h)

tgian người đó đi với vận tốc 4km/h là \(\dfrac{18-x}{4}\) (h)

=> ta có bất phương trình:

\(\dfrac{x}{5}+\dfrac{18-x}{4}\le4\)

giải ra ta được : \(x\ge10\) mà \(x\le18\)

=> \(10\le x\le18\)

vậy độ dài quãng đường người đó đi với vận tốc 5km/h ngắn nhất là 10km, dài nhất là 18km

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+2\right)\left(x^2+2y^2\right)\ge\left(x+2y\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+2y^2\right)\ge\left(x+2y\right)^2\)

\(\Rightarrow3\cdot A\ge\left(x+2y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

ta có: \(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\)

thay vào A, ta có:

\(A=\left(1-2y\right)^2+2y^2\)

\(A=\left(6y^2-4y+\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{1}{3}\)

\(A=\left(\sqrt{6}y-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}\)

vậy A_min=1/3

Gọi a là chiều rộng của khu đất

Vậy chiều dài của khu đất đó là 3a

Theo đề ta có pt:

(a+3a)*2=160

<=> 4a*2=160

<=> 4a=80

<=>a=20

Vậy chiều rộng của khu đất là a=20m

Chiều dài là 20*3=60m

Dtích khu đất : 20*60=1200m²

Ta có: \(7x^2+8xy+7y^2=10\)

\(\Rightarrow4x^2+8xy+4y^2+3x^2+3y^2=10\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2+3\left(x^2+y^2\right)=10\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)=10-4\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow S_{Max}=x^2+y^2=\dfrac{10-4\left(x+y\right)^2}{3}\le\dfrac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=-y\)

Ta có: \(x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\) đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)

Thay vào \(7x^2+8xy+7y^2=10\) ta có:

\(7x^2+8x^2+7x^2=10\)

\(\Rightarrow22x^2=10\Rightarrow x^2=\dfrac{10}{22}\Rightarrow y^2=\dfrac{10}{22}\)

Khi đó \(S_{Min}=\dfrac{10}{22}+\dfrac{10}{22}=\dfrac{10}{11}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)