Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

\(I=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.cos^3 xdx=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.(1-\sin^2 x)d(\sin x)=\dfrac{\sin^3 x}{3}\Big|_0^{\pi/2}-\dfrac{\sin^5 x}{5}\Big|_0^{\pi/2}=\dfrac{2}{15}\)

Do đó diện tích hình phẳng là $S=|I|=\dfrac{2}{15}$

a) Đặt \(u=x^2\); \(dv=2^xdx\). Khi đó \(du=2xdx\)  ; \(v=\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln2}\)  và  \(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2}{\ln2}\int x2^xdx\)

Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho tích phân ở vế phải bằng cách đặt :

\(u=x\)  ; \(dv=2^xdx\)   và thu được  \(du=dx\)    ; \(v=\frac{2^x}{\ln2}\)   Do đó

\(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{1}{\ln2}\int2^xdx\right]\)

    = \(x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2^x}{\ln^22}\right]+C\)  = \(\left(x^2-\frac{2}{\ln2}x+\frac{2}{\ln^22}\right)\frac{2^x}{\ln2}+C\)

b) Đặt \(u=x^2\); \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó \(du=2xdx\)    ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{3x}d\left(3x\right)=\frac{1}{3}e^{ex}\)

Do đó:

\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int xe^{3x}dx\)  (a)

Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho nguyên hàm ở vế phải. Ta đặt \(u=x\)  ; \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó  \(du=dx\)  ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\)  và 

\(\int xe^{ex}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\)

Thế kết quả thu được vào (a) ta có :

\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\right)+C=\frac{e^{3x}}{27}\left(9x^2-6x+2\right)+C\)

c) Đặt \(u=x^2-6x+2\); \(dv=e^{3x}dx\)   

Khi đó \(du=\left(2x-6\right)dx\)   ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\)

Do đó :

\(I_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\) 

Đặt \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx=I'_3\)

Ta có \(\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}I'_3\)(a)

Ta lại áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần cho \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\). 

Đặt \(u=x-3\)  ; \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó   \(du=dx\); \(v=\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\)

Vậy \(I'_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{9}e^{3x}\)

Thế \(I'_3\)  vào (a)  ta thu được 

\(I_3=e^{3x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{20}{9}x+\frac{38}{27}\right)+C\)

Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm \(u=u\left(x\right)\) là tùy ý ( còn \(dv\) là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìm

a) Đặt \(u=e^{2x}\) ,\(dv=\sin3xdx\)

Từ đó \(du=2e^{2x}dx\)   , \(v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx\) Do đó : 

\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx\)

\(=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1\)\(I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx\)

Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần

Đặt \(u=e^{2x}\)  ; \(dv=\cos3xdx\)   Khi đó \(du=2^{2x}dx\); \(v=\frac{1}{3}\sin2x\)

Do đó \(I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx\) Như vậy :

\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx\)

\(I_1=\int e^{2x}\sin3xdx\)

Tức là \(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1\)

Ta có \(I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C\)

b) Đặt \(u=e^{-x}\) ; \(dv=\cos\frac{x}{2}dx\)

Từ đó :

\(du=-e^{-x}dx\)   ; \(v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\)

Do đó :

\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx\) (b)

\(\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2\)

Ta cần tính \(I'_2\)  Đặt \(u=e^{-x}\)   ; \(dv=\sin\frac{x}{2}dx\)

Từ đó :

\(du=-e^{-x}dx\)   ; \(v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}\)

Do đó :

\(I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx\)

    \(=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\)

Thế \(I'_2\)   vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là \(I_2\)

\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]\)

hay là

\(5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}\) \(\Rightarrow\) \(I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C\)

c) Trước khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện phép đổi biến \(t=e^x\).

Khi đó : \(I_2=\int t^2\cos tdt=t^2\sin t-2\int t\sin tdt\)

                 \(=t^2\sin t-2\left(-t\cos t+\int\cos tdt\right)\)

                 =\(\left(t^2-2\right)\sin t+2t\cos t+C\)

                 \(=\left(e^{2x}-2\right)\sin e^x+2e^x\cos e^x+C\)

\(sin 2x-(2sin^2 x-sin2x-2sinx-1/2.\sin 2x+\cos^2x+\cos x-3\sin x-3\cos x+3)=0\)

\(5\sin x.\cos x+5\sin x+2\cos x-\sin^2x-4=0\)

\(\cos x(5\sin x+2)=\sin^2x-5\sin x+4=(\sin x-1)(\sin x -4)\)

Bình phương 2 vế suy ra

\((1-\sin^2 x)(5\sin x+2)^2=(1-\sin x)^2(\sin x-4)^2\)

TH1: \(\sin x=1\)

TH 2: \((1+\sin x)(5\sin x+2)^2=(1-\sin x)(\sin x-4)^2\)

Cậu sống ở đâu hở ? Lấy đâu ra toán khó thế ?

Câu 3 sửa \(\int\limits_1^{3/2} \)

Khó như thế này thì ai mà làm nổi

Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó. 

Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1

Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :

\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)

Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm

Đặt \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1};f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\) . Khi đó \(f\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\)

- Tìm một nguyên hàm của \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1}\) vì nguyên hàm của hàm số \(e^x\) là hàm số \(e^x\) nên theo quy tắc : "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(F\left(y\left(t\right)\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                           trong đó ta giả thiết rằng các hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                                        và \(F\left(y\left(t\right)\right)\) đều được xác định. Đặc biệt là nếu \(y\left(t\right)=at+b,a\ne0\) vafneeus F(x) là một nguyên hàm đối với hàm \(f\left(x\right)\) thì \(\frac{1}{a}F\left(at+b\right)\) là một nguyên hàm đối với hàm số \(f\left(at+b\right)\)" (a)

Nguyên hàm của hàm số \(e^{2x+1}\) là \(F_1\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x+1}\)

Theo quy tắc "Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(kF\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(kf\left(x\right)\)" (b) 

một nguyên hàm của \(3e^{2x+1}\) là hàm số \(3.\frac{1}{2}e^{2x+1}=\frac{3}{2}e^{2x+1}\)

Tìm một nguyên hàm của \(f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\). Vì hàm số \(\tan x\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^2x}\) nên theo quy tắc (a) ta có \(\frac{4}{\Pi}\tan\frac{\Pi x}{4}\) là nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\)

Bây giờ áp dụng  quy tắc "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì hàm số F(x) + G (x) là môt nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x)" (c)

ta thu được \(\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\)

Mọi nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) được biểu diễn bởi công thức :

\(F\left(x\right)=\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\tan\left(\frac{\Pi x}{4}\right)+C\)

Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành tổng các phân thức đơn giản

\(\frac{\left(x-1\right)dx}{x^2\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{\left(x+1\right)^2}+\frac{E}{x-1}\)

Quy đồng mẫu số chung và cân bằng tử số của hai vế với nhau, ta có :

\(A\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2+Bx\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2+Cx^2\left(x+1\right)^2+Dx\left(x-2\right)+Ẽx^2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\equiv x-1\) (a)

Để xác định các hệ số A, B, C, D, E ta thay \(x=0,x=2,x=-1\) vào (a) ta thu được \(\begin{cases}-2A=-1\\36C=1\\-3D=-2\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(A=\frac{1}{2},C=\frac{1}{36},D=\frac{2}{3}\)

Thay các giá trị này vào (a) và mở các dấu ngoặc ta có :

\(\left(B+E+\frac{1}{36}\right)x^4+\left(\frac{11}{9}-E\right)x^3+\left(-3B-2E-\frac{47}{36}\right)x^2+\left(-\frac{3}{2}-2B\right)x-1\equiv x-1\)

Cân bằng các hệ số của \(x^3\) và của \(x\) ta thu được :

\(\begin{cases}\frac{11}{9}-E=0\\-\frac{3}{2}-2B=1\end{cases}\) \(\Rightarrow\)  \(B=-\frac{5}{4},E=\frac{11}{9}\)

Như vậy :\(A=\frac{1}{2},C=\frac{1}{36},D=\frac{2}{3}\),\(B=-\frac{5}{4},E=\frac{11}{9}\)

Từ đó suy ra :

\(I=-\frac{1}{2x}-\frac{5}{4}\ln\left|x-2\right|-\frac{2}{3\left(x+1\right)}+\frac{11}{9}\ln\left|x+1\right|+C\)