Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Cần bổ xung đk của x

mới có GTNN

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{x^3+1}{x^2}\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(A=x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x^2-2+\dfrac{1}{x^2}\right)+2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2\ge2\)

GTNN của A =2 khi x=1 thỏa mãn đk

Ta có: \(A=\dfrac{x^5+2}{x^3}=x^2+\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 5 số không âm, ta có:

\(A\ge5\sqrt[5]{\left(\dfrac{x^2}{3}\right)^3.\left(\dfrac{1}{x^3}\right)^2}=\dfrac{5}{\sqrt[5]{27}}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{1}{x^3}\Leftrightarrow x^5=3\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{3}\)

Vậy GTNN của \(A=\dfrac{x^5+2}{x^3}\left(x>0\right)\) là \(\dfrac{5}{\sqrt[5]{27}}\) tại \(x=\sqrt[5]{3}\).

a. Ta có: m<n

<=> 2m<2n (nhân cả hai vế với 2)

<=> 2m+1<2n+1 (cộng cả hai vế với 1) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

b. Ta có: m<n

<=> m-2<n-2 (cộng cả hai vế với -2)

<=> 4(m-2)<4(n-2) (nhân cả hai vế với 4) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

c. Ta có: m<n

<=> -6m>-6n (nhân cả hai vế với -6)

<=> 3-6m>3-6n (cộng cả hai vế với 3) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

d. Ta có: m<n

<=> 4m<4n (nhân cả hai vế với 4)

<=> 4m+1<4n+1 (cộng cả hai vế với 1)

mà 4n+1<4n+5

=> 4m+1<4n+5 \(\xrightarrow[]{}đpcm\)

Ta có :

\(\left(m^2-1\right)x+6=3x-2\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-4\right)x+8=0\)

Để phương trình vô nghiệm thì :

\(m^2-4=0\Leftrightarrow m=4\)

Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Ta có : b - a < 0 ( vì a > b > 0 )

ab > 0 ( vì a > b > 0)

=> \(\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy : \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

Áp dụng : chứng mih quy tắc “lấy nghịch đảo ” sau đây nếu a>b>0 thì 1/a<1/b

Em hãy lấy ví dụ minh hoạ

Sửa đề cmr \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\) và a,b>0

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(luôn đúng)

Ta có :

\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}< 0\)

\(\Rightarrow\dfrac{ad-bc}{bd}< 0\)

Mà \(bd>0\) (do b,d dương)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad-bc< 0\\bd>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad< bc\\bd>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{bd}{ad}>\dfrac{bd}{bc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}\)

\(\rightarrowđpcm\)

a, Ta có : \(a^2+a+1=a^2+2\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

Vậy : \(a^2+a+1>0\)

b, Xét hiệu : \(-a^2-6a-9\)\(=-\left(a^2+6a+9\right)=-\left(a+3\right)^2\le0\)

Vậy : \(-a^2-6a\le9\) Dấu "=" xảy ra khi a = - 3

đề câu b phải là -a^2-6a chứ

bạn xem lại đề hộ mk nếu đúng mk sẽ làm cho nha