Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

\(\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\le\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=|\sqrt{5}-1|\)

= \(\sqrt{5}-1\)

câu a ĐKXĐ là x thuộc R

câu b ko có ĐKXĐ vì:

\(x^2\ge0\) với mọi x\(\Rightarrow\dfrac{-2}{x^2}< 0\) với mọi x khác 0

số trong căn luôn là một số không âm nên \(\sqrt{-\dfrac{2}{x^2}}\) không tồn tại.

a) o có điều kiện

b) o tồn tại

buồn ngủ lắm,vắn tắt thôi nhé:

\(VT=\dfrac{6}{a^2+b^2}+\dfrac{6}{2ab}+\dfrac{13}{ab}+2017\left(a^4+b^4\right)\)

\(\ge\dfrac{24}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{13}{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}+2017.\dfrac{1}{8}\)

Trường hợp p = 2 thì 2^p + p^2 = 8 là hợp số.
Trường hợp p = 3 thì 2^p + p^2 = 17 là số nguyên tố.
Trường hợp p > 3. Khi đó p không chia hết cho 3 và p là số lẻ. Suy ra p chia cho 3 hoặc dư 1 hoặc dư 2, do đó p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3. Lại vì p lẻ nên 2^p + 1 chia hết cho 3. Thành thử (2^p + 1) + (p^2 - 1) = 2^p + p^2 chia hết cho 3; suy ra 2^p + p^2 ắt hẳn là hợp số.
Vậy p = 3.

điều kiện x \(\ge\) 0

a, ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(A=\sqrt{x^2+2\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{x^2-2\sqrt{x^2-1}}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2}\)

\(A=\sqrt{x^2-1}+1-\left|\sqrt{x^2-1}-1\right|\)

nếu \(\left\{{}\begin{matrix}x\le-\sqrt{2}\\x\ge\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì \(A=\sqrt{x^2-1}+1-\sqrt{x^2-1}+1=2\) (1)

nếu \(-\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\) thì \(A=2\sqrt{x^2-1}\)

vì \(x\ge\sqrt{2}\) thuộc khoảng (1) nên \(A=2\)

bài 1 biến đổi tương đương

bài 2: Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

a. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (1)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (2)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)nên bđt (2) đúng.

=> Bđt (1) được chứng minh.

b. \(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2b^2ac+c^2ab\ge3a^2bc+3b^2ac+3c^2ab\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2b^2ac+2c^2ab-3a^2bc-3b^2ac-3c^2ab\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(ab-ac\right)^2+\left(bc-ac\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=> đpcm

a) Ta có :\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+\sqrt{24}<2+3+5=10\)

\(\sqrt{10}^2=10\)

\(=>(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2<\sqrt{10}^2\)

\(=> \sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}\)

b) Ta có : \((\sqrt{3}+2)^2=3+4+\sqrt{48}=7+\sqrt{48}\)

\((\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=2+6+\sqrt{48}=8+\sqrt{48}\)

\(=>(\sqrt{3}+2)^2<(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2\)

\(=>\sqrt{3}+2<\sqrt{2}+\sqrt{6}\)

Ta có

\(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3=5+2\sqrt[]{6}\)

Ta cũng có \(\sqrt{10}^2=10\)
Nên \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2-\sqrt{10}^2\\ =5+2\sqrt{6}-10\\ =2\sqrt{6}-5\\ =\sqrt{4.6}-\sqrt{25}\\ =\sqrt{24}-\sqrt{25}< 0\)
Do đó \(\sqrt{2}+\sqrt{3}< \sqrt{10}\)

b) Ta có \(\left(\sqrt{3}+2\right)^2=3+4\sqrt{3}+4=7+4\sqrt{3}\)
\(\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}\)

Do đó \(\left(\sqrt{3}+2\right)^2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2\\ =7+4\sqrt{3}-8-2\sqrt{12}\\ =-1+\sqrt{16.3}-\sqrt{4.12}\\ =-1+\sqrt{48}-\sqrt{48}=-1< 0\)

Nên \(\sqrt{3}+2< \sqrt{6}+\sqrt{2}\)

bình phương 2 vếu

a, \(\sqrt{2\left(x-3\right)}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-3\right)=\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow x-3=\dfrac{1}{32}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{97}{32}\)

Vậy...

b, \(\sqrt{13-2x}=8\)

\(\Leftrightarrow13-2x=64\)

\(\Leftrightarrow2x=-51\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-51}{2}\)

Vậy...

c, \(\sqrt{1-5x}=1\)

\(\Leftrightarrow1-5x=1\)

\(\Leftrightarrow5x=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy...

b/ \(\sqrt{2\left(x-3\right)}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-3\right)=\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow x-3=\dfrac{1}{32}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{97}{32}\)

c/ \(\sqrt{13-2x}=8\)

\(\Leftrightarrow13-2x=64\)

\(\Leftrightarrow2x=-51\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{51}{2}\)

d/ \(\sqrt{1-5x}=1\)

\(\Leftrightarrow1-5x=1\)

\(\Leftrightarrow5x=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)