Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.
b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.
b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Nên tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.
Do đó khẳng định a) đúng.
b) Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Nên tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.
Do đó khẳng định b) là đúng.
c) Tứ giác có hai cạnh song song là hình thang.
Hình thang có và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Nên tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Do đó khẳng định c) đúng.
d) Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
Do đó khẳng định d) sai.
Vậy các khẳng định a), b), c) đúng; khẳng định d) sai.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân
Thảo luận (2)Hướng dẫn giải
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2 AB.
a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Xét tứ giác BPCD ta có: BP // CD, BP = CD (cùng bằng AB) suy ra BPCD là hình bình hành
b) ABD vuông cân tại A suy ra AB = AD, do đó ABCD là hình vuông
Khi đó BD là phân giác \(\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {DBC} = {45^o} \Rightarrow \widehat {DBP} = {45^o} + {90^o} = {135^o}\)
\(\widehat {PC{\rm{D}}} = \widehat {DBP} = {135^o}\)
BD//PC⇒\(\widehat {BPC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = {45^o}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {BPC} = {45^o}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59)
a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau
b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC
c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi
d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có MP⊥AC, AB⊥AC suy ra MP//AB nên \(\widehat {CMP} = \widehat B\)
Xét tam giác vuông CMP và MBN ta có:
CM = MB (gt)
\(\widehat {CMP} = \widehat B\)
Suy ra ΔCMP=ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Xét tứ giác APMN có \(\widehat P = \widehat A = \widehat N = {90^o}\)suy ra APMN là hình chữ nhật
Xét tam giác ABC có: M là trung điểm AB, MP//AB suy ra P là trung điểm AC
Tương tự ta có: M là trung điểm AB, MN//AC suy ra N là trung điểm AB
c) Xét tứ giác AMCQ có: P là trung điểm MQ, P là trung điểm AC, AC⊥MQ suy ra AMCQ là hình thoi
d) Nếu ABC vuông cân tại A , AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao suy ra\(\widehat {AMC} = {90^o}\)
Xét hình thoi AMCQ có \(\widehat {AMC} = {90^o}\)suy ra AMCQ là hình vuông
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME (H.3.60)
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật
b) BK và NE cùng bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và AB (dù M thay đổi trên đường thẳng MC miễn là B nằm giữa M và C)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Xét tứ giác BKEN có: \(\widehat {BKE} = \widehat {KEN} = \widehat {ENB} = {90^o}\)
Suy ra tứ giác BKEN là hình chữ nhật
b) D là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB
Ta có BN // AC (do BKNE là hình chữ nhật) suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {BCA}\)(hai góc đồng vị)
\(\widehat {MB{\rm{D}}} = \widehat {ABC}\)(đối đỉnh)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {BCA}\)(tam giác ABC cân tại A) suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MB{\rm{D}}}\)
Xét tam giác vuông MBD và MBN ta có:
AB chung
\(\widehat {ABC} = \widehat {BCA}\)
Suy ra ΔMBD = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra MD = MN
Lại có: BK = NE = ME – MN suy ra BK = NE = ME − MD
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
