Bài 4. Hai mặt phẳng song song

Hướng dẫn giải

đều có một cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ nên có:

‒ Hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) bằng nhau và là hình bình hành.

‒ Các mặt bên \(AA'B'B,AA'D'D,BB'C'C,CC'D'D\) là các hình bình hành.

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AC\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'\)

Mà \(AA'\) và \(CC'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(AA'\parallel CC'\)

Vậy \(AA'C'C\) là hình bình hành.

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = B{\rm{D}}\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel B'D'\)

Mà \(BB'\) và \(DD'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(BB'\parallel DD'\)

Vậy \(BB'D'D\) là hình bình hành.

c) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel A'B'\left( 1 \right)\)

\(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành nên \(AB = CD\)

\(AA'B'B\) là hình bình hành nên \(AB = A'B'\)

Vậy \(A'B' = CD\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C{\rm{D}}\) là hình bình hành

\( \Rightarrow A'C,B'D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta có:

+ \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AC',B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+ \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'C,B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Do đó bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = Q{\rm{R}}\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel Q{\rm{R}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = NP\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = R{\rm{S}}\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel R{\rm{S}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = M{\rm{S}}\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = PQ\end{array} \right\} \Rightarrow M{\rm{S}}\parallel PQ\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel DD'\\DD' \subset \left( {CC'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {CC'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\AB\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\AA',AB \subset \left( {AA'B'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = A'B'\\\left( P \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = C'D'\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'\parallel C'D'\left( 1 \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel BC\\BC \subset \left( {BB'C'C} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AD\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel BB'\\BB' \subset \left( {BB'C'C} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\AD\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\AA',AD \subset \left( {AA'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = A'D'\\\left( P \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A'D'\parallel B'C'\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.

Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},O' = A'C' \cap B'{\rm{D}}'\)

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC,B{\rm{D}}\), \(O'\) là trung điểm của \(A'C',B'{\rm{D}}'\).

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = AA'\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = CC'\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel CC'\)

\( \Rightarrow AA'C'C\) là hình thang

\(O\) là trung điểm của \(AC\)

\(O'\) là trung điểm của \(A'C'\)

\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của hình thang \(AA'C'C\)

\( \Rightarrow AA' + CC' = 2OO'\left( 3 \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = BB'\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = DD'\end{array} \right\} \Rightarrow BB'\parallel DD'\)

\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình thang

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\(O'\) là trung điểm của \(B'D'\)

\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của hình thang \(BB'D'D\)

\( \Rightarrow BB' + DD' = 2OO'\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AA' + CC' = BB' + DD'\left( { = 2OO'} \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

 

a) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(M\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\) (theo tính chất hình bình hành)

\(N\) là trung điểm của \(SD\)

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của tam giác \(SB{\rm{D}}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OE\parallel BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OE\parallel \left( {SBC} \right)\)

Do \(\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\) nên \(E \in \left( {OMN} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}EF \subset \left( {OMN} \right)\\\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right)\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

 

a) \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AD\parallel BC\)

Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)

\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AF\parallel BE\)

Mà \(A{\rm{F}} \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BC,BE \subset \left( {CBE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CBE} \right)\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)

b) Do \(ABCD\) và \(ABEF\) là hai hình vuông có chung cạnh \(AB\) nên các đường chéo \(AC,BF\) bằng nhau.

Theo đề bài ta có: \(AM = BN\)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\)

Ta có:

\(MM'\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}}\)

\(NN'\parallel AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AN'}}{{AF}} \Rightarrow M'N'\parallel DF\\M'N' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}NN'\parallel EF\\{\rm{NN}}' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\C{\rm{D}},DF \subset \left( {DEF} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)

 

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},O' = A'C' \cap B'{\rm{D}}',I = AC' \cap A'C\)

Vì \(AA'\parallel CC',AA' = CC'\) theo tính chất hình hộp nên \(AA'C'C\) là hình bình hành \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AC'\) và \(A'C\).

Ta có: \({G_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BDA' \Rightarrow \frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác \(AA'C\) có \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_1}\) là trọng tâm của tam giác \(AA'C\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(A'C\) nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow A{G_1} = \frac{2}{3}AI\)

Mà \(AI = \frac{1}{2}AC'\)

\( \Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\left( 1 \right)\)

Ta có: \({G_2}\) là trọng tâm của tam giác \(B'D'C \Rightarrow \frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác \(ACC'\) có \(\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_2}\) là trọng tâm của tam giác \(ACC'\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(AC'\) nên \(\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I\)

Mà \(C'I = \frac{1}{2}AC'\)

\( \Rightarrow C'{G_2} = \frac{1}{3}AC'\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({G_1}\) và \({G_2}\) chia đoạn \(AC\) thành ba phần bằng nhau.

 

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \({B_1},{E_1}\) lần lượt là giao điểm của \(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\) với \(BB',EE'\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}{A_1}{D_1}\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\\{F_1}{C_1}\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\\{A_1}{D_1},{F_1}{C_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\)

Vậy giao tuyến của \(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\) với các mặt bên của lăng trụ là:

\(\begin{array}{l}mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = {A_1}{B_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = {B_1}{C_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right) = {C_1}{D_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {DEE'D'} \right) = {D_1}{E_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {EFF'E'} \right) = {E_1}{F_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {AFF'A'} \right) = {A_1}{F_1}\end{array}\)

b) \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) là hình lăng trụ \( \Rightarrow CC' = AA' = 70\left( {cm} \right)\)

\(A'{A_1} = 6A{A_1} \Rightarrow A{A_1} = \frac{1}{7}AA' = 10\left( {cm} \right)\)

\(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'{\rm{D'E'F'}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{C{C_1}}}{{CC'}} = \frac{{A{A_1}}}{{AA'}} \Leftrightarrow C{C_1} = \frac{{CC'.A{A_1}}}{{AA'}} = \frac{{70.10}}{{70}} = 10\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {C_1}C' = CC' - C{C_1} = 70 - 10 = 60\left( {cm} \right)\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a: Các tấm pin năng lượng mặt trời song song với nhau

b: Các bức tường đối diện nhau của toà nhà song song với nhau

Các ví dụ khác: Các bậc cầu thang, mặt bàn và mặt phẳng sàn nhà

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)