Bài 3. Hình thang cân

Hướng dẫn giải

Do BE là phân giác của \(\widehat {ABC}\)nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\]

CK là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Mà: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(1)\)(do \(\Delta ABC\)cân tại A)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

Xét \(\Delta AEB\)và \(\Delta AKC\)có: \(\widehat A\)chung, \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)

AB = AC \( \Rightarrow \Delta AEB = \Delta AKC(g.c.g)\)

\( \Rightarrow AE = AK \Rightarrow \Delta AEK\)cân tại A.. \(\widehat {AEK} = \widehat {AKE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(2)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {AKE} \Rightarrow KE//BC\)(2 góc đơn vị)

Suy ra BKEC là hình thang (3)

Từ (1), (3) suy ra BKEC là hình thang cân.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a, Do ACDE là hình thang cân nên

AC//DE suy ra AB//ED \( \Rightarrow {{\widehat B} _1} = {{\widehat E} _3},{{\widehat A} _1} = {{\widehat E} _1} = {60^0};{{\widehat C} _1} = {{\widehat D} _1} = {60^0}\)

Mà: AE//BD \( \Rightarrow {{\widehat B} _2} = {{\widehat E} _2}\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta B{\rm{D}}E\) có: \({{\widehat B} _1} = {{\widehat E} _3}\) ; BE chung

\(\begin{array}{l}{{{\widehat B} }_2} = {{{\widehat E} }_2} \Rightarrow \Delta ABE = \Delta B{\rm{D}}E \Rightarrow A{\rm{E}} = B{\rm{D}} = 2m.\\AB = E{\rm{D}} = 2m\end{array}\)

Xét \(\Delta BC{\rm{D}}\) có \({{\widehat C} _1} = {60^0};B{\rm{D}} = C{\rm{D}} = 2m \Rightarrow \Delta BC{\rm{D}}\) đều.

Xét \(\Delta A{\rm{E}}B\) có \({{\widehat A} _1} = {60^0};AB = A{\rm{E}} = 2m \Rightarrow \Delta A{\rm{E}}B\) đều.

Vì: \(\Delta A{\rm{E}}B\) đều suy ra: BE = 2 m.

Xét \(\Delta BE{\rm{D}}\) có BD = BE = ED = 2m \( \Rightarrow \Delta BE{\rm{D}}\) đều.

b, Vì \(\Delta ABE,\Delta BC{\rm{D}}\) là các tam giác đều nên AB = BC = 2m.

Suy ra AC = AB + BC = 4m.

Do \(\Delta B{\rm{D}}C\) đều nên H là trung điểm của BC.

Suy ra HC = HB =\(\dfrac{{BC}}{2} = 1\)

Xét \(\Delta DHC\) vuông tại H ta có:

\(D{C^2} = D{H^2} + H{C^2}\) (theo định lý pythagore)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow D{H^2} = D{C^2} - H{C^2} = {2^2} - {1^2} = 3\\ \Rightarrow DH = \sqrt 3 \end{array}\)

c, Diện tích hình thang cân AEDC là:

\({S_{A{\rm{ED}}C}} = \dfrac{1}{2}DH.(AC + E{\rm{D}}) = \dfrac{1}{2}\sqrt 3 (2 + 4) = 3\sqrt 3 (c{m^2})\)

Vậy diện tích mặt cắt phần chứa nước: \(3\sqrt 3 c{m^2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)