Question

Với mỗi số nguyên dương \(k\), kí hiệu là \(k!=1.2.3.............k\) . Cho số nguyên n > 3. Chứng minh rằng A_n =  không thể biểu diễn dưới dạng \(a^b\), với a,b là các số nguyên, b > 1.

 

Answer 1

ta chứng minh : A = 1!+2!+...+n! ko phải là số chính phương

ta có: 1!+2!+3!+4! chia 10 dư 3

5!+6!+...+n! chia hết cho 10

vậy A chia 10 dư 3 => A ko phải là số chính phương nên A ko thể là lũy thừa vs số mũ chẵn (1)

* chứng minh A ko thể là lũy thừa vs số mũ lẻ

+) với n 4 => 1!+2!+3!+4! = 33 ko là lũy thừa 1 số nguyên

+) n lớn hơn hoặc bằng 5

ta có: 1!+2!+3!+4!+5! chia hết cho 9

6!+7!+...+n! chia hết cho 9

=> A chia hết cho 9

+) ta thấy 9!+10!+...+n! chia hết cho 7

còn 1!+2!+...+8! chia 27 dư 9 (2)

từ (1) và (2) => A ko phải là lũy thừa của 1 số nguyên ( vs n>3 ; b>1 )