Question

từ điểm P  ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến PA và PB. qua B kẻ Bx song song với PA cắt đường tròn (O) tại C. gọi E là giao điểm thứ hai của PC với (O) và I là giao điểm của BE với PA

a. chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp

b. chứng minh PA²=PE.PC

c. chứng minh IP=IA

Answer 1

â) Xét tứ giác PAOB  , co  :

\(\widehat{A}=90^o\) ( PA là tiếp tuyến ) 

\(\widehat{B}=90^o\)( PB là tiếp tuyến ) 

\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^o+90^o=180^o\)

Vay : tứ giác PAOB nội tiếp  ( vì có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^o )

b)  Xét \(\Delta PAEva\Delta PCA,co:\)

\(\widehat{P}\) là góc chung 

\(\widehat{ACE}=\widehat{EAP}\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung  )

Do đó : \(\Delta PAE~\Delta PCA\)( g - g ) 

 \(=>\frac{PA}{PE}=\frac{PC}{PA}\)

\(=>PA^2=PE.PC\)

c)

Answer 2

c, ta có góc APC=PCB (slt vì BC//PA)

mà góc PCB=PBE =1/2sđcungBE ( góc nội tiếp chắn cung BE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung BE)

suy ra góc APC=PBE

xét hai tam giác PIE và BIP có

góc I chung

góc IBE=IBP(cmt)

suy ra hai tam giác đó đồng dạng 

suy ra PI/BI=IE/PI

suy ra PI^2=BI*IE (1)

xét hai tam giác AIE và BIA có 

góc I chung 

góc IAE=ABI=1/2sđ cung AE ( góc nội tiếp chắn cung AE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AE)

suy ra hai tam giác đó đồng dạng

suy ra AI/BI=EI/AI

suy ra AI^2=BI*EI (2)

từ 1 và 2 suy ra PI=AI( đpcm)