Question

Tìm x,y nguyên thỏa mãn: \(x!+y!=\left(x+y\right)!\)

Answer 1

Lời giải:
Sửa đề là \(x,y\in \mathbb{N}\)

Ta thấy, với mọi\(x,y\in\mathbb{N}\) thì: \(x+y\geq y; x+y\geq x\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x!+y!=(x+y)!\vdots x!\\ x!+y!=(x+y)!\vdots y!\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y!\vdots x!\\ x!\vdots y!\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=y\). Thay vào pt ban đầu suy ra:

\(2x!=(2x)!\)

\(\Rightarrow 2=(x+1)..(2x)\).

Với $x=0$ thì không thỏa mãn.

Với $x=1$ thì thỏa mãn

Với $x\geq 2$ thì \((x+1)...2x\geq 3.4>2\) nên không thỏa mãn

Vậy $x=y=1$ là nghiệm duy nhất.