Question

Tìm nghiệm nguyên dương của pt \(5\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x+2y\right)\)

Answer 1

=> 5x² + 5xy + 5y² = 7x + 14y

=> 5x² + 5xy - 7x + 5y² - 14y = 0 

=> 5x² + (5y -7).x + (5y²  - 14y) = 0   (*)

Tính \(\Delta\) = (5y - 7)² - 4.5.(5y²  - 14y) = -75y² + 210y + 49  

Để x nguyên thì \(\Delta\) là số chính phương <=> -75y² + 210y + 49  = k² ( với k nguyên)

=> - 3. (25y² - 2.5y.7 + 49) + 196 = k²

=> -3.(5y - 7)² + 196 = k²

=> 3.(5y - 7)² + k² = 196 => 3. (5y-7)²  \(\le\) 196 => (5y - 7)²  \(\le\) 66 =>-8  \(\le\)  5y - 7 \(\le\) 8

=> -1/5  \(\le\) y \(\le\) 3

y nguyên nên y có thể bằng 0; 1;2;3

Với tưng giá trị của y ta thay vào (*) => x 

Các giá trị x; y nguyên tìm được là các giá trị thỏa mãn yêu cầu