Question

Tìm một số abcdefghi gồm chín chữ số khác nhau và khác chữ số 0 sao cho thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

- Số tạo bởi hai chữ số đầu ab chia hết cho 2

- Số tạo bởi ba chữ số đầu abc chia hết cho 3

- Số tạo bởi bốn chữ số đầu abcd chia hết cho 4

- Số tạo bởi năm chữ số đầu abcde chia hết cho 5

- Số tạo bởi sáu chữ số đầu abcdef chia hết cho 6

- Số tạo bởi bảy chữ số đầu abcdefg chia hết cho 7

- Số tạo bởi tám chữ số đầu abcdefgh chia hết cho 8

- Số tạo bởi chín chữ số đầu abcdefghi chia hết cho 9

Answer 1

ab , abcd , abcdef , abcdefgh lần lượt chia hết cho 2,4,6,8 nên (b,d,f,h) là hoán vị của (2,4,6,8) => (a,c,e,g,i) là hoán vị của (1,3,5,7,9)

abcde chia hết cho 5 nên e = 5

abcdefgh chia hết cho 8 mà f chẵn nên gh chia hết cho 8 trong khi g lẻ, khác 5

=> gh = 16 ; 32 ; 72 ; 96 .

abc,abcdef,abcdefghi lần lượt chia hết cho 3, 6, 9 nên a + b + c , a + b + c + d + e + f và a + b + c + d + e + f + g + h + i chia hết cho 3.

=> d + e + f chia hết cho 3 => g + h + i chia hết cho 3 => def,ghi chia hết cho 3.

=> ghi = 165 (loại vì i lẻ, khác 5) ; 321 ; 327 ; 723 ; 729 ; 963 => h = 2 ; 6

abcd chia hết cho 4 mà c lẻ nên d = 6 => def = 654 ; h khác d nên h = 2 => b = 8 ; g khác 9

=> abcdefghi = a8c654g2i

a8c654g chia hết cho 7 nên theo dấu hiệu chia hết cho 7, ta có :

a + 54g - 8c6 = a + 540 + g - 800 - 10c - 6 = a + g - 3c - 7c - 266 chia hết cho 7 mà 266 và 7c chia hết cho 7 nên a + g - 3c chia hết cho 7.

Nếu g = 1 thì a = 9 , c = 1 (loại vì c khác g)

Nếu g = 3 thì a = 7 , c = 1 (loại vì abc = 781 không chia hết cho 3)

Nếu g = 7 thì a = 3 , c = 1 hoặc a = 9 , c = 3 (loại vì abc = 983 không chia hết cho 3) => i = 9

Vậy abcdefghi = 381654729