Question

Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB=c,AC=b,BC=a. Các phân giác AD,BE và CF cắt nhau tại O.

a) Tính độ dài đoạn thằng AE theo a,b,c

b) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông khi \(\frac{OB.OC}{BE.CF}\)= \(\frac{1}{2}\)

Answer 1

a.) từ các tia phân giác suy ra được OE/OB=AE/AB=EC/BC 

suy ra AE/c=EC/a

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

 AE/c=EC/a=AE+EC/c+a=AC/c+a=b/c+a

suy ra AE=bc/c+a 

tương tự ta có AF=bc/a+b

ta có OB/OE=AB/AE=c/AE

suy ra OB/OE+OB=c/AE+c (ko bik bạn học cái này chưa)

OB/BE=c/AE+c(1)

tương tự ta lại có OC/CF=b/AF+b(2)

từ (1) và (2) suy ra OB.OC/BE.CF=bc/(AE+c)(AF+b)=1/2 

nhân chéo ta có 2bc=(AE+c)(AF+b)=(bc/(c+a)+c)(bc/(a+b)+b)

2bc=(c(a+b+c)/(a+c))(b(a+b+c)/(a+b))

2bc=bc(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)

2=(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)

suy ra (a+b+c)^2=2(a+c)(a+b)

tách ra rút gọn còn a^2=b^2+c^2 

suy ra tam giác ABC vuông tại A