Question

So sánh: \(\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}\)và \(\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

Answer 1

Đặt : \(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}\); \(B=\frac{2018^{2012}+1}{2018^{2013}+1}\)

Ta có : 

\(2018A=\frac{2018.\left(2018^{13}+1\right)}{2018^{14}+1}\)

\(2018A=\frac{2018^{14}+2018}{2018^{14}+1}=\frac{2018^{14}+1+2017}{2018^{14}+1}=\frac{2018^{2014}+1}{2018^{14}+1}+\frac{2017}{2018^{14}+1}=1+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)

\(2018B=\frac{2018.\left(2018^{12}+1\right)}{2018^{13}+1}\)

\(2018B=\frac{2018^{13}+2018}{2018^{13}+1}=\frac{2018^{13}+1+2017}{2018^{13}+1}=\frac{2018^{13}+1}{2018^{13}+1}+\frac{2017}{2018^{13}+1}=1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

Vì 2018¹⁴ + 1 >  2018¹³ + 1 nên \(\frac{2017}{2018^{14}+1}< \frac{2017}{2018^{13}+1}\)

\(\Rightarrow1+\frac{2017}{2018^{14}+1}< 1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)Hay : A < B 

Vậy A < B 

Answer 2

Đặt \(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}\)và \(B=\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

Ta có : 

\(2018A=\frac{\left(2018^{13}+1\right)\times2018}{2018^{14}+1}\)                                                         \(2018B=\frac{\left(2018^{12}+1\right)\times2018}{2018^{13}+1}\)

\(2018A=\frac{2018^{14}+2018}{2018^{14}+1}\)                                                                      \(2018B=\frac{2018^{13}+2018}{2018^{13}+1}\)

\(2018A=\frac{2018^{14}+1+2017}{2018^{14}+1}\)                                                                \(2018B=\frac{2018^{13}+1+2017}{2018^{13}+1}\)

\(2018A=1+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)                                                                        \(2018B=1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

Vì \(\frac{2017}{2018^{14}+1}< \frac{2017}{2018^{13}+1}\)

\(\Rightarrow2018A< 2018B\)

\(\Rightarrow A< B\)

Vậy : \(\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

Answer 3

Đặt \(B=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}\Rightarrow2018B=\frac{2018.\left(2018^{13}+1\right)}{2018^{14}+1}\)

 \(\Rightarrow2018B=\frac{2018^{14}+2018}{2018^{14}+1}=\frac{2018^{14}+1+2017}{2018^{14}+1}\)\(=\frac{2018^{14}+1}{2018^{14}+1}+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)

                                                                                                                \(=1+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)

Đặt \(C=\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\Rightarrow2018C=\frac{2018.\left(2018^{12}+1\right)}{2018^{13}+1}\)

     \(\Rightarrow2018C=\frac{2018^{13}+2018}{2018^{13}+1}=\frac{2018^{13}+1+2017}{2018^{13}+1}\)

                                                                   \(=\frac{2018^{13}+1}{2018^{13}+1}+\frac{2017}{2018^{13}+1}=1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

Vì \(\frac{2017}{2018^{14}+1}< \frac{2017}{2018^{13}+1}\)

=> B < C 

\(\Rightarrow\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

Answer 4

\(2018.\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}=\frac{2018^{14}+2018}{2018^{14}+1}=\frac{\left(2018^{14}+1\right)+2017}{2018^{14}+1}=\frac{2018^{14}+1}{2018^{14}+1}+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)

\(=1+\frac{2017}{2018^{14}+1}\)

\(2018.\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}=\frac{2018^{13}+2018}{2018^{13}+1}=\frac{\left(2018^{13}+1\right)+2017}{2018^{13}+1}=\frac{2018^{13}+1}{2018^{13}+1}+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

\(=1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

Có:   \(\frac{2017}{2018^{14}+1}< \frac{2017}{2018^{13}+1}\)

=> \(1+\frac{2017}{2018^{14}+1}< 1+\frac{2017}{2018^{13}+1}\)

=> \(2018.\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< 2018.\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

=> \(\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)

Answer 5

Ta đặt : \(\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}\)là A , \(\frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}\)là B

Ta thấy : \(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{13}+1+2017}{2018^{14}+1+2017}\)

\(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{13}+2018}{2018^{14}+2018}\)

\(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018\cdot\left(2018^{12}+1\right)}{2018\cdot\left(2018^{13}+1\right)}\)

\(A=\frac{2018^{13}+1}{2018^{14}+1}< \frac{2018^{12}+1}{2018^{13}+1}=B\)

=> A < B