Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Trong Bach

Số phức z thỏa mãn z - 2 i z - 2  là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z - 1 + z - i

A.  5

B.  5 2

C.  2 5

D.  3 5

Cao Minh Tâm
16 tháng 3 2019 lúc 3:04

Đặt z = a + bi với  a , b ∈ R

Khi đó

z - 2 i z - 2 = a + b - 2 i a - 2 + b i = a + b - 2 i a - 2 - b i a - 2 2 + b 2 = a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 + a - 2 b - 2 - a b a - 2 2 + b 2

z - 2 i z - 2  là số ảo khi và chỉ khi 

a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 2 a + b a - 2 2 + b 2 ≠ 0

Ta có

P = z - 1 + z - i = a - 1 + b i + a + b - 1 i = a - 1 2 + b + a 2 + b - 1 2 = a 2 + b 2 - 2 a + 1 + a 2 + b 2 - 2 b + 1 = 2 a + b - 2 a + 1 + 1 a + b - 2 a + 1 = 1 + 2 b + 1 + 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  2 a + b = a 2 + b 2 ≥ 1 2 a + b 2

Suy ra  a + b ≤ 4

Do đó  P 2 ≤ 2 2 + 2 a + b ≤ 20 ⇔ P ≤ 2 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy maxP =  2 5  đạt được khi z = 2 + 2i

Đáp án C


Các câu hỏi tương tự
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết