Question

Nếu x ; y ; z > 0  thoả  mãn :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)

thì : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Các  bạn  làm  ơn  giúp  mik  vs  nha,  rất  cảm  ơn!!

Answer 1

Áp dụng BĐT Schwartz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{x+2y+z}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{x+y+2z}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{16}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)