Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-\left(k-1\right)}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{k}\left(k+1\right)}<2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Với k thuộc N sao CMR:
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
cho biểu thức
\(K=\)\(\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)
a. Tìm ĐKXĐ, rút gọn K
b. Tìm x để K< -1
c. Tìm x để K có GTNN, tìm GTNN đó
Chứng minh:
\(\frac{1}{1\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2004\sqrt{2005}}< 2\)
P/s: Có ai biết đẳng thức: \(\frac{1}{\sqrt{k}\left(k-1\right)}< .....\). MÌnh quên mất cái đẳng thức đó; bạn nào biết thì viết và chứng minh lại giúp mình với. Thanks
Cho \(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+..+\frac{1}{\sqrt{k\left(k.1998-k+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}\)
Hãy so sánh S và \(2\frac{1998}{1999}\)
\(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{2}{a-1}\right)\)
a, Rút gọn K
b, Tính giá trị của K khi \(a=3+2\sqrt{2}\)
c,Tìm giá trị của a sao cho K<0
Cho Sk=\(\frac{1}{\sqrt{1.2015}}+\frac{1}{\sqrt{2.2014}}+\frac{1}{\sqrt{3.2013}}+....+\frac{1}{\sqrt{k.\left(2016-k\right)}}vớik\in N^{sao},k\le2015\)
c/m Sk>k/1018
\(K = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{2 +\sqrt{6}} +\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}} \right ) -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(K = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{2 +\sqrt{6}} +\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}} \right ) -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
