Do \(VT\ge0\Rightarrow0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow x>0\)
Kết hợp điều kiện biểu thức dưới dấu căn ko âm ta được \(x\ge1\)
Khi đó, chia 2 vế của pt cho \(x\) ta được:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^3}}+\dfrac{1}{x}\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}.\sqrt{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{x}\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki:
\(VT\le\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{1}{x}\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}}{\sqrt{\dfrac{1}{x}}}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}\Rightarrow\) đặt \(\dfrac{1}{x}=a\Rightarrow0< a< 1\)
\(\sqrt{\dfrac{1-a^2}{a}}=\dfrac{a}{\sqrt{1-a}}\Leftrightarrow\dfrac{1-a^2}{a}=\dfrac{a^2}{1-a}\Leftrightarrow a^3=\left(1-a^2\right)\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)
