Question

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)

Answer 1

ĐK: \(x;y\ne0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x+2y+1}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow4x+4y+2=2xy\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+1=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-2y=2x+1\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{2x+1}{x-2}\)

Vì y nguyên nên \(\frac{2x+1}{x-2}\) nguyên mà x nguyên nên \(2x+1\) và \(x-2\) nguyên.

Do đó \(2x+1⋮x-2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)+5⋮x-2\)

\(\Leftrightarrow5⋮x-2\)

\(\Leftrightarrow x-2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{3;1;7;-3\right\}\)( thỏa )

Từ đó thế vào pt tìm y.

Vậy...