Với giả sử rằng \(x\ne0\) thì ta biến đổi phương trình đã cho dưới dạng:
\(\frac{2004}{2x+1+\frac{1}{x}}+\frac{2005}{2x+2+\frac{1}{x}}=902\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(2x+\frac{1}{x}+1=t\) \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2x+\frac{1}{x}+2=t+1\) thì phương trình \(\left(1\right)\) trở thành:
\(\frac{2004}{t}+\frac{2005}{t+1}=902\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{2004\left(t+1\right)+2005t}{t\left(t+1\right)}=902\)
Khử mẫu ở hai vế của phương trình trên, ta được:
\(2004\left(t+1\right)+2005t=902t\left(t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2004t+2004+2005t=902t^2+902t\)
\(\Leftrightarrow\) \(902t^2-3107t-2004=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(t-4\right)\left(902t+501\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(t=4\) hoặc \(t=-\frac{501}{902}\)
\(\text{*)}\) Với \(t=4\) thì từ \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2x+\frac{1}{x}+1=4\) \(\Leftrightarrow\) \(2x+\frac{1}{x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(2x^2+1=3x\) (do \(x\ne0\))
\(\Leftrightarrow\) \(2x^2-3x+1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\) (thỏa mãn)
\(\text{*)}\) Với \(t=-\frac{501}{902}\) thì từ \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2x+\frac{1}{x}+1=-\frac{501}{902}\) (vô nghiệm)
Vậy, tập nghiệm của phương trình \(\left(1\right)\) là \(S=\left\{1;\frac{1}{2}\right\}\)
