Question

Đây là đề thi hsg lớp 8..mong các bạn giúp đỡ mình ạ

CÂU 1:giải phương trình

\(\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+8052}{2013}=0\)\(0\)

CÂU 2:a)Tìm x thuộc Z để A thuộc Z .A=\(\frac{\left(\frac{1}{2x-1}+\frac{3}{1-4x^2}-\frac{2}{2x+1}\right)}{\frac{x^2}{2x^2+x}}\)

b)cho 3 số a,b,c thỏa mãn:\(a^2+b^2+c^2=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\). Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:B=\(a^2+b^2+c^2-\left(a+2b+3c\right)+2017\)   

CÂU 3:Một canô xuôi dòng 9 km và quay trở về đi ngược dòng đến một địa điểm cách chỗ xuất phát ban đầu 1 km thì dừng lại .Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là 2 km /h,, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút   

CÂU 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. các điểm M,N lần lượt là trung điểm  của BC,AC.Gọi H,O,G theo thứ tự là trực tâm , giao điểm các đường trung trực, trọng tâm của tam giác ABC.Chứng minh:a)tam giác AHB đồng dạng với tam giác MON

b)tam giác HAG đồng dạng với tam giác OMG

c)3 điểm H ,G,O thẳng hàng 

CÂU 5:a) chứng minh rằng với mọi số nguyen dương n thì:

S_{n \(=1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)}  

b) chứng minh rằng với mọi n thuộc N thì :A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 là một số chính phương

Answer 1

Câu 1: 

\(\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+8052}{2013}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+2013}{2013}+\frac{6039}{2013}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+2013}{2013}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+1+\frac{x+12}{2001}+1+\frac{x+11}{2002}+1+\frac{x+2013}{2013}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2013}{2000}+\frac{x+2013}{2001}+\frac{x+2013}{2002}+\frac{x+2013}{2013}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2013\right)\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2013}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2013=0\). Do \(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2013}\ne0\)

\(\Leftrightarrow x=-2013\)

Câu 2:

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Thay \(a=b=c\) vào \(B=a^2+b^2+c^2-\left(a+2b+3c\right)+2017\)

\(B=3a^2-6a+2017=3a^2-6a+3+2014\)

\(=3\left(a^2-2a+1\right)+2014=3\left(a-1\right)^2+2014\ge2014\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=1\)

Lại có \(a=b=c\Rightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(B_{Min}=2014\) khi \(a=b=c=1\)

Câu 5:

\(S_n=1^3+2^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Trước hết ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\) (*)

Với \(n=1;n=2\) (*) đúng

Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành:

\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)

Cần chứng minh \(\left(1\right)\) đúng, mặt khác ta lại có: 

\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có Đpcm

Vậy \(S_n=1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

b)\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

Đặt \(t=n^2+3n\) thì ta có: 

\(A=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\) là SCP với mọi \(n\in N\)

Answer 2

thks bạn