Với một hình chữ nhất có chu vi không đổi thì diện tích của nó là lớn nhất khi nó là hình vuông.
Chứng minh điều này có thể phải dùng tới kiến thức về bất đẳng thức ở cấp II.
Chứng minh:
Gọi chiều dài hình chữ nhật là a; chiều rộng hình chữ nhật là b; Chi vi hình chữ nhật là C.
Ta có: \(C=2\left(a+b\right)\)
Diện tích hình chữ nhật là:\(S=a.b\)
Mà: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow S=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(\frac{C}{2}\right)^2}{4}=\frac{C^2}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\) hay chiều dài = chiều rộng, hay hình chữ nhật là hình vuông.
Vậy bác nông dân khoanh mảnh đất thành hình vuông thì sẽ nhận được diện tích lớn nhất (có lợi nhất).
Bài toán có thể hiểu là: Trong các hình: tròn, vuông và hình chữ nhật cùng chu vi, xét xem hình nào có diện tích lớn nhất. Ta so sánh diện tích các hình trên qua đại lượng chu vi . Gọi chu vi ( độ dài sợ dây) là C; ta có:
Svuông= C/4 xC/4= CxC/16. Để biến hình vuông thành hình chữ nhật thì phải bớt cạnh này của hình vuông và thêm vào cạnh kia của hình vuông một lượng, chẳng hạn là a, ta có chiều dài là C/4+a và chiều rộng là C/4-a; khi đó diện tích hình chữ nhật là
Schữ nhật= (C/4+a)x(C/4-a)= CxC/16- axa , vì là hình chữ nhật nên a>0, nên Schữ nhât < Svuông.
Ta lại có Stròn=3,14xCxC/4x3,14x3,14 = CxC/4x3,14 > CxC/16 Vậy Stròn> Svuông> Schữ nhật..
Kết luận: Nếu hình tròn, hình vuông và hình chữ nhật có chu bằng nhau thì diện tích hình tròn là lớn nhất, diện tích hình chữ nhật là bé nhất.
