Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta được
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân 2 vế của bất đẳng thức trên lại ta được đpcm
Dấu ''='' <=> a = b = c
ko dùng đến BĐT cauchy cx dc!
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=1+1+1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=3+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Ta có:\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\),thật vậy:
Gỉa sử \(a\ge c\),khi đó:\(a=c+m\)
\(\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=\frac{c+m}{c}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m}{c}+\frac{c}{c+m}\ge1+\frac{m}{c+m}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m+c}{m+c}=1+1=2\)
Chứng minh tương tự,ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\\\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge6\)
\(\Rightarrow3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge9\left(đpcm\right)\)
Ok,chứng minh cô si cho 3 số:
Với a,b,c không âm: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Đặt \(\sqrt[3]{a}=x;\sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z\) (x,y,z \(\ge0\))
BĐT \(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\) (1)
Mà x,y,z \(\ge0\) suy ra \(x+y+z\ge0\)
Ta sẽ c/m: \(x^2+y^2+z^2\ge xy-yz-zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy-2yz-2zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Suy ra \(\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge0\) (2)
Do (2) đúng suy ra (1) đúng.
Vậy BĐT đã được c/m
Sau đây là cách dùng Cô si cho 2 số để c/m:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\) (1)
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số với biểu thức trong ngoặc được:
\(VT\ge2+2+2=6\)
Suy ra (1) đúng suy ra BĐT ban đầu là đúng (đpcm)
Cách nữa:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(VT\ge\left(\sqrt{a.\frac{1}{a}}+\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)^2=9^{\left(đpcm\right)}\)
Cô si cho 3 số nghe nói có cách dồn biến thì phải tth ạ.Nếu t nhớ ko lầm thì như vầy:
BĐT: a + b + c \(\ge3\sqrt[3]{abc}\) (a,b,c>= 0)
Chuẩn hóa a+b+c =1 (*)
Thì ta chứng minh f(a;b;c) >= 0 với f(a;b;c) = 1 - 27abc
Nhận thấy: Nếu thay a;b bởi \(t=\frac{a+b}{2}\) thì (*) vẫn đúng.
Mặt khác,theo BĐT Cauchy cho 2 số thì; \(t^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
Suy ra \(f\left(a;b;c\right)\ge1-27t^2c\).Lại nhận thấy:\(c=1-2t\)
Suy ra \(f\left(a;b;c\right)\ge1-27t^2\left(1-2t\right)\)
tới đây hết nhớ nổi rồi,ai đó giúp em ạ.
Bạn chứng minh giùm mình bất đẳng thức Cô xi cho 3 số được không ạ ?
Chỗ \(f\left(a;b;c\right)\ge1-27t^2c\Rightarrow f\left(a;b;c\right)\ge f\left(t;t;c\right)\) nha!
Khang ơi , mấy cái dồn biến với cả f(a;b;c) là gì vậy ạ ?
