Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\) (dpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
1.Cho a>0,b>0
CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Cho a+b=1 và a,b>0 cmr :a) 8(a4+b4)+\(\frac{1}{ab}\)\(\ge\)5
b) (a+ \(\frac{1}{a}\))2+(b+\(\frac{1}{b}\) )2\(\ge\)2
CMR:\(\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}+\frac{8}{2a-b}\)
a>0 và b<0
cho a+b=1
CMR \(a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
Các bạn giúp mình với nha:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.
CMR\(\frac{a.b}{a^2+b^2}+\frac{b.c}{b^2+c^2}+\frac{c.a}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
Cho a,b > 0;a+b=1
CMR: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
CMR với mọi a,b > 0:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).
1/ Rút gọn biểu thức:
A = 8.( 32 +1 ).(34+1).(38+1).(316+1).(332 +1)
2/ chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ( x - 1).( x - 2).( x - 3).( x - 4) lớn hơn hoặc bằng -1
b) Với a, b > 0 và a + 1 = 1 thì
( 1+ 1/a).(1 + 1/b) lớn hơn hoặc bằng 9
c) Cho a + b > 1
CMR: a4 + b4 > \(\frac{1}{8}\)
3/ vs mọi giá trị của biến x các đa thức sau đây nhận giá trị dương
a) x2 - 6x + 10
b) x2 + x + 1
c) ( x - 3)(x - 5) + 4
4/ Cmr: V x \(\ge\) 0; y \(\ge\)0 thì \(\left(\frac{x+y}{x}\right)^2\ge xy\)
5/ Cmr:\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1vớin\in N,n>1\)
a) Cho \(a;b\ge0\)
CMR: \(a+b\ge\frac{12a+b}{9+ab}\)
b) Cho \(a^2+b^2\ge\frac{1}{4}\)
CMR: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{32}\)
