+) Có 4 số nên có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3
Suy ra 1 trong các hiệu trong tích \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(b-c\right)\left(c-d\right)\)sẽ chia hết cho 3
+) Có 4 số nên có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 4 hoặc có số dư lần lượt là 0;1;2;3.
* Nếu có 2 số cùng số dư chia hết cho 4 thì hiệu của chúng chia hết cho 4
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(b-c\right)\left(c-d\right)⋮4\)
* Nếu các số có số dư lần lượt là 0;1;2;3 thì có 2 số chẵn, 2 số lẻ, mỗi hiệu của chúng chia hết cho 2 nên chúng chia hết cho 4
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(b-c\right)\left(c-d\right)⋮4\)
Vậy \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(b-c\right)\left(c-d\right)⋮12\)(vì (3,4)=1)
Lời giải:
Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2
Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3
Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3
Mặt khác:
Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b
⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3
⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12
Ta có đpcm,
