Question

CMR: nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn \(b^2-4ac\) và \(b^2+4ac\) đồng thời là các số chính phương thì abc chia hết cho 30

 

Answer 1

Chứng minh được: mọi số dạng 3k±2,5k±2 đều ko fai số chính phươngNếu b chẵn thì abc chia hết 2

Nếu b lẻ thì b²=8k+1 (k thuộc Z)=>b²±4ac là SCP lẻ.đặt b²±4ac=8m+1 (m thuộc Z)

=>4ac chia hết 8 =>ac chia hết 2 =>abc chia hết 2 (1)

Nếu b chia hết 3 =>abc chia hết 3

Nếu b ko chia hết 3 thì b² chia 3 dư 1.khi đó ac ko chia hết  3 thì b²±4ac có dạng 3p±2 ko là SCP =>ac chia hết 3 =>abc chia hết 3 (2)

Nếu b chia hết 5 thì abc chia hết 5

Nếu b ko chia hết 5 thì b² chia 5 dư 1.khi đó ac ko chia hết 5 thì b²±4c có dạng 5q±2 ko là SCP =>ac chia hết 5 =>abc chia hết 5 (3)

Từ (1) (2) (3) và vì (2,3,5)=1 nên abc chia hết 30