Gọi biểu thức phân số đó là A
Ta thấy
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
......................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{99.100}\)
Ta có công thức : \(\frac{a}{b.c}=\frac{a}{c-b}.\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)
Dựa vào công thức trên ta có
\(A< 1.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1.\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{99}{100}\)
Mà \(\frac{99}{100}< 1\)
\(A< \frac{99}{100}< 1\Rightarrow A< 1\Rightarrow dpcm\)
ủng hộ nha
ta có \(x^2=x.x\le\left(x-1\right)x\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}< \frac{1}{\left(x-1\right)x}\)và\(\frac{1}{\left(x-1\right)x}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\)Vậy ta có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}\)<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{99.100}=\)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)=1-\(\frac{1}{100}\le1\)
vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}< 1\left(đpcm\right)\)
sinichi làm xong trước nên em k cho sinichi
