Question

CHỨNG TỎ: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)  <1

M.N LÀM NHANH CHO MÌNH NHÉ! CHIỀU MÌNH PHẢI ĐI HỌC RỒI!

Answer 1

Đặt A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}\)

=> A < \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{98.99}\)

=> A < 1 - \(\frac{1}{99}\)= 98/99 < 1

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}\)< 1

Answer 2

Đặt  \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}\)

Ta có :    \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{99^2}< \frac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{99}\)

\(\Rightarrow A< 1\left(Đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!! 

Answer 3

Ta có :\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{98.99}\)\(< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

          \(=1-\frac{1}{99}< 1\)

Bất đẳng thức đã cho là đúng