Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì \(25n^5\)-  \(5n^3\)- \(20n\) chia hết cho 120

Answer 1

Ta có: \(25n^5-5n^3-20n=5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(5n^2+4\right)\)(1)

Ta thấy (1) chia hết cho 5 (2)

(1) có 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 (3)

Ta chứng minh (1) chia hết cho 8

Với n lẻ thì (n - 1) và (n + 1) là hai số chẵn liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 còn 1 số chia hết cho 4 nên (1) sẽ chia hết cho 8

Với n chẵn thì ta có n chia hết co 2 và (5n² + 4) = (5.4k² + 4) =4(5k² + 1) chia hết cho 4 nên (1) chia hết cho 8

=> (1) chia hết cho 8 (4)

Từ (2), (3), (4) ta có (1) chia hết cho 5.3.8 = 120