Giải như sau:
Bài 1:
Bổ đề: Trong 55 số nguyên dương bất kì tồn tại 33 số có tổng chia hết cho 33
Cm:
TH1: Nếu trong 55 số xuất hiện cả ba kiểu dư 1,2,31,2,3 thì có đpcm
TH2: Chỉ có 22 hoặc 11 trong số ba kiểu dư xuất hiện suy ra theo nguyên lý dirichlet suy ra có 33 số có cùng kiểu dư nên tổng chia hết cho 3đpcm
Bổ đề được chứng minh
Áp dụng vào bài, ta xét 1717 số chia thành 33 nhóm 5,5,75,5,7 phần tử
Theo nhận xét mỗi nhóm đều có 33 số có tổng chia hết cho 33, sau khi chọn, trong mỗi tập chọn được 33 số có tổng lần lượt là 3x1,3x2,3x33x1,3x2,3x3
Sau khi chọn còn 17−9=817−9=8 số
Áp dụng nhận xét tiếp suy ra trong 88 số trên chọn được 33 số tổng là 3x43x4
Còn 8−3=58−3=5 số theo nhận xét chọn được 33 số tổng là 3x53x5
Trong 55 số x1,x2,...,x5x1,x2,...,x5 có 33 số tổng chia hết cho 33 giả sử x1+x2+x3⋮3x1+x2+x3⋮3
Khi đó chọn được 99 số tổng chia hết cho 33 vì 3(x1+x2+x3)⋮93(x1+x2+x3)⋮9 đpcm
Chú ý bài này nếu thay 1717 thành 1616 thì không còn đúng
Vì nếu 1616 số ta chọn các kiểu dư của 1616 số lần lượt là
(1,−1,1,−1,...,1,−1)(1,−1,1,−1,...,1,−1)
Với 88 chữ số 11, 88 chữ số −1−1
Khi đó tổng 99 số bất kì sẽ tối đa là 1+1+1+...+1+−1=71+1+1+...+1+−1=7 (với 88 chữ số 11)
Tối thiểu là −1+−1+...+−1+1=−7−1+−1+...+−1+1=−7 (với 88 chữ số −1−1)
Khi đó tổng 99 số bất kì tối thiểu −7,7−7,7 như vậy tổng chia hết cho 99 khi và chỉ khi tổng đó bằng 00
Nhưng đây là điểu không thể vì trong 99 số giả sử có kk số 11, qq số −1−1
Khi đó k−q=0k−q=0 như vậy k+qk+q chẵn
Như vậy vô lí vì k+q=9k+q=9 lẻ
Do đó 1616 số thì không thỏa mãn
