Gọi d là ƯC(n + 2017; n + 2018)
=> n + 2017 \(⋮\) d và n + 2019 \(⋮\) d
=> (n + 2018) - (n + 2017) \(⋮\) d
=> n + 2018 - n - 2017 \(⋮\) d
=> (n - n) + (2018 - 2017) \(⋮\)d
=> 0 + 1 \(⋮\) d
=> 1 \(⋮\) d
=> d = 1 hoặc d = -1
=> ƯC(n + 2017; n+2018) = -1 hoặc 1
=> n + 2017/n + 2018 là phân số tối giản
Gọi ƯCLN(n+2017;n+2018)=d
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+2017⋮d\\n+2018⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow n+2017-\left(n+2018\right)⋮d\)
\(\Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(-1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
Mà d là ƯCLN nên d =1
=>n+2017/n+2018 là phân số tối giản.
Gọi d \(\in\)UC(n+2017;n+2018)
\(\Rightarrow\)[(n+2017)-(n+2018)]\(⋮\)d
\(\Rightarrow\)[n+2017-n-2018]\(⋮\)d
\(\Rightarrow\)(-1)\(⋮\)d\(\Rightarrow\)d\(\in\)U(-1)={1;-1}
n+2017\(⋮\)1\(\Rightarrow\)d = {1;-1}
Vậy \(\frac{n+2017}{n+2018}\)tối giản với mọi N
