Question

Chứng minh : \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

Ta có:\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\) (*)

Lại có: \(\left(ab-bc\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)

Tương tự \(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2;c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)

Cộng từng vế của 3 BĐT ta được:\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (**) 

Từ (*),(**) \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge abc\left(a+b+c\right)+2abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c\right)\)

=>đpcm