Question

Cho x+y+z=1;

x²+y²+z²=1;

x³+y³+z³=1

Chứng minh:x+y²+z³=1

Answer 1

x+y+z=1 <=> (x+y+z)^3=1

<=> x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)=1

<=> 1+3(x+y)(y+z)(z+x)=1

<=> 3(x+y)(y+z)(z+x)=0

<=> (x+y)(y+z)(z+x)=0

<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0

+) x+y=0 <=> x=-y

Thay vào đề ta được: x+y+z=(-y)+y+z=1

<=> z=1

Thay vào x^2+y^2+z^2=1 ta được: (-y)^2+y^2+1^2=1

<=> 2y^2=0 <=> y=0=x

x+y^2+z^3=0+0^2+1^3=1

Tương tự với 2 trường hợp còn lại ta có đpcm