Question

Cho x,y,z>0 và x+y+z=3 Tìm min:\(\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^{^2}}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có 

\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3z+z+3x+x+3y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+x}{4}=\frac{3}{4}\)

Answer 2

Đặt \(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}\)

Áp dụng bất đẳng thức Canchy Schwarz dạng Engel : 

\(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}>\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3y+z+3z+x+3x}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4x+4y+4z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4.\left(x+y+z\right)}=\frac{3^2}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi x=y=z=1.

Answer 3

Sử dụng AM - GM ta dễ có:

\(\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}}=\frac{x}{2}\)

Tương tự:

\(\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z+3x}{16}\ge\frac{y}{2};\frac{z^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge\frac{z}{2}\)

Khi đó:

\(\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}\ge\frac{x+y+z}{2}-\frac{x+y+z}{4}=\frac{x+y+z}{4}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1