Question

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)

Tìm GTNN của: \(P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^2+x^2}}{zx}\)

Answer 1

Áp dụng bđt bu nhi a cốp xki : 

\(\left(2x^2+y^2\right)\left(\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(1\right)^2\right)\ge\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+y.1\right)^2=\left(2x+y\right)^2\)

=> \(\sqrt{2x^2+y^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2x+y\right)\) => \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2x+y}{xy}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

CM tương tự với hai cái còn lại 

=> \(P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\cdot\sqrt{3}=3\)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y =z = căn 3