Question

Cho x+y=a+b;x²+y²=a²+b².Chứng minh rằng xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ với n thuộc N*

Answer 1

\(x+y=a+b\)(1)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)(2)

Ta thấy: \(x+y=a+b\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\). Mà \(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow xy=ab\Rightarrow3xy=3ab\)(3)

Từ (1); (2) và (3) \(\Rightarrow x^3+y^3=a^3+b^3\)

Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=a^4+2a^2b^2+b^4\)

Vì \(xy=ab\Rightarrow2x^2y^2=2a^2b^2\Rightarrow x^4+y^4=a^4+b^4\)

Sau đó sử dụng phép quy nạp là xong.