Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Thật ra bài này không cần điều kiện \(x+y\le1\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)vẫn đúng với x,y dương và x = y.
Mình nghĩ nên chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)thì điều kiện \(x+y\le1\) sẽ có nghĩa!
Cho x, y>0 và thỏa mãn. Chứng minh rằng: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Cho x,y\(>0\) thỏa mãn x+y=1. Chứng minh: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=1\) . CMR: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{1}{3}\)
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn xy = 4 .Chứng minh x + y \(\ge\)4 và \(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}\)\(\le\frac{2}{5}\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xy + yz +zx = 1.Chứng minh
\(\frac{x-y}{z^2+1}\)+\(\frac{y-z}{x^2+1}\)+\(\frac{z-x}{y^2+1}\)=0
Cho x , y , z là các số thực khoảng ( 0 ; 1 ) thỏa mãn xyz = ( 1- x ) ( 1-y ) (1-z ) . CMR :
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{3}{4}\)
cho x>0;y>0 thoã mãn \(x+y\le1\)
chứng minh rằng : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Cho x và y là hai số khác 0 và thỏa mãn x+y khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x^3y^3}\)
Tìm x,y biết:
a) x^2 - 12x + 35 bé hơn hoặc =0
Cho x+y+xy=15. Tìm GTNN của M= 4 ( x^2+y^4 )
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a^2+b^2+c^2=1. CMR: -1/2 bé hơn hoặc bằng ab+ac+bc bé hơn hoặc bằng 1
