Áp dụng BĐT AM-GM có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
\(\Rightarrow\) tam giác ABC là tam giác đều.
1, Phân tích thành nhân tử: 8(x + y + z)^2 - (x + y)^3 - (y + z)^3 - (z + x)^3
2,
a, Phân tích thành nhân tử: 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4
b, Chứng minh rằng nếu x, y, x là ba cạnh của 1 tam giác thì A > 0
3, Cho x, y, x là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn các đẳng thức sau thì tam giác ABC là tam giác đều:
a, (x + y+ z)^2 = 3(xy + yz + zx)
b, (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz
c, (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2
d, (1 + x/z)(1 + z/y)(1 + y/x) = 8
4,
a, Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b < c; abc < 0; a + c = 0. Hãy so sánh (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) và (c - b)(b - a)(a - c)
b, Cho x, y, z, t là các số nguyên dương thỏa mãn x + z = y + t; xz 1 = yt. Chứng minh y = t và x, y, z là 3 số nguyên liên tiếp
5, Chứng minh rằng mọi x, y, z thuộc Z thì giá trị của các đa thức sau là 1 số chính phương
a, A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4
b, B = (xy + yz + zx)^2 + (x + y + z)^2 . (x^2 + y^2 + z^2)
Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều PAB, MCB, NAC. Gọi X, Y, Z là tâm của ba tam giác đều. Chứng minh rằng tam giác XYZ đều.
cho tam giác abc đều. đường cao AH có độ dài = 3. M là một điểm bất kì năm trong tam giác. Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ M đến cạnh BC,CA,AB. Xác định điểm M để bthức E = x^2 + y^2 + z^2 đạt GTNN
Chi tam giác đều ABC có đường cao AH dài 3cm . Gọi ! Là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x,y,z là khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác . Tìm vị trí của M để x^2+y^2+z^2 đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác ABC gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c.
Gọi độ dài 3 tia phân giác là x,y,z . Biết a+b+c=9
Chứng minh : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1\)
cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của tam giác đó.CMR:1/a+1/b+1/c<1/x+1/y+1/z
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác và x,y,z lấn lượt là độ dài các đường phân giác của tam giác đó:
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Tìm GTNN và GTLN của P=x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó.
CMR: 1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c
