Question

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC= 4cm, BD= 5cm, \(\widehat{AOB=50^o}\). Tính diện tích tứ giác ABCD.

Vẽ \(AH\perp BD,CK\perp BD\) . Chú ý:  \(AH=OA.\sin50^o,CK=OC.\sin50^o.\)

Thanks 

Answer 1

Sử dụng công thức (1): Với a, b, c là 3 cạnh đối diện của \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác ABC thì \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\)_. \(AC\sin A\)

Chứng minh: Kẻ \(BH\perp AC\Rightarrow S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\)

Xét tam giác ABH vuông thì sin \(A=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=\sin A.AC\)

Từ hai điều trên suy ra: \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin A}{2}\left(đpcm\right)\)

Trở lại bài toán:

Sử dụng công thức \(\sin\alpha=\sin\left(180-\alpha\right)\Rightarrow\sin AOD=\sin AOB=\sin BOC=\sin DOC\)

Áp dụng công thức (1):

\(S_{ABCD}=S_{AOB}=S_{AOD}=S_{DOC}=S_{BOC}=\frac{AO.OB.\sin AOB+AO.DO.\sin AOD+DO.CO.\sin DOC+BO.CO.\sin BOC}{2}\)

\(=\frac{\sin AOB\left(AO.OB+AO.OD+DO.OC+BO.OC\right)}{2}=\frac{\sin AOB\left(AO.BD+OC.BD\right)}{2}=\frac{\sin50^o.BD.AC}{2}\)

\(=\frac{20\sin50}{2}=10\sin50\)