Nếu ta chọn một tập toàn số chẵn thì a^2+b^2 là hợp số. Trong tập A lại có 8 số chẵn nên k>8=>k>=9. Ta sẽ chứng minh k=9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Xây dựng dãy gồm 8 phần tử:
(1,4);(2,3);(5,8);(6,11);(7,10);(9,16);(12,13);(14,15)
Theo dirichlet toàn tại 2 phần tử cùng thuộc 1 số trong dãy trên nên ta sẽ có ngay điều phải chứng minh (Do tổng bình phương các số trong đó đều là snt)
Cho $A$ là tập hợp gồm $6$ phần tử bất kỳ của tập hợp $\{0; \, 1; \, 2; \, ...; \, 14\}$. Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con $B_1$ và $B_2$ của tập hợp $A$ (với $B_1$, $B_2$ khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp $B_1$ bằng tổng tất cả các phần tử của tập hợp $B_2$.
Cho $X$ là một tập hợp gồm $700$ số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không vượt quá $2$ $006$. Chứng minh rằng trong tập hợp $X$ luôn tìm được hai phần tử $x$, $y$ sao cho $x - y$ thuộc tập hợp $E = \{3; \, 6; \, 9\}$.
Cho tập hợp $X = \{1; \, \sqrt2; \, \sqrt3; \, ...; \, \sqrt{2024}\}$. Chứng minh rằng trong $90$ số khác nhau bất kì được lấy ra từ tập $X$ luôn tồn tại hai số $x$, $y$ sao cho $|x - y| < \dfrac12$.
Trong một hình vuông diện tích là $16$, người ta đặt ba đa giác có tổng diện tích là $20$. Chứng minh rằng có hai đa giác có diện tích phần chung lớn hơn $1$.
