Question

Cho tam giác nhọn ABC, góc B> góc C, đường cao AH và đường trung tuyến AM. 

a)  CMR: HC-HB=2HM

b) Gọi a là góc tạo bởi đường cao và đường trung tuyến. CMR: \(\tan\alpha=\frac{\cot C-\cot B}{2}\)

Answer 1

a) Do AM là trung tuyến nên BM = MC

Ta có :  \(HC-HB-2HM\)

\(=HM+MC-HB-HM-HM\)

\(=MC-HB-HM\)

\(=MC-\left(HB+HM\right)\)

\(=MC-MB=0\)

\(\Rightarrow HC-HB=2MC\left(đpcm\right)\)

b) Xét  \(\Delta AHM\)có  \(\tan a=\frac{HM}{AH}\)

Xét  \(\Delta AHC\)có  \(\cot C=\frac{HC}{AH}\)

Xét  \(\Delta AHB\)có  \(\cot B=\frac{HB}{AH}\)

Ta có :  \(\frac{\cot C-\cot B}{2}=\left(\frac{HC}{AH}-\frac{HB}{AH}\right)\div2=\frac{HC-HB}{AH}\div2\)

Mà  \(HC-HB=2HM\)( câu a )

\(\Rightarrow\frac{\cot C-\cot B}{2}=\frac{2HM}{AH}\div2=\frac{HM}{AH}=\tan a\left(đpcm\right)\)

Vậy ...