Question

Cho tam giác đều ABC, trên AB lấy D sao cho AD = 1/3. AB Từ D kẻ đường vuông góc với AB cắt AC ở E. Qua E kẻ đường vuông góc với AC cắt BC ở F.a, DF vuông góc với BC.b, Tam giác DEF là tam giác đều.

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)ADE có:

ADE+DAE+AED=180^o (đl tổng ba góc \(\Delta\))

\(\Rightarrow\)AED=180^o-90^o-60^o

\(\Rightarrow\)AED=30^o

Ta có:

AD=\(\frac{1}{2}\)AE (t/c cạnh đối diện góc 30^o trong \(\Delta\)vuông) (1)

Mà AD=\(\frac{1}{3}\)AB

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)(AD+BD)

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)AD+\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\)AD-\(\frac{1}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD

\(\Rightarrow\)2AD=BD

\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{2}\)BD (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\)AE=BD

\(\Rightarrow\)AC-AE=AB-BD (AB=AC \(\Delta\)ABC đều)

\(\Rightarrow\)EC=AD

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)CEF có:

ADE=CÈ (=90^o)

EC=AD (cmt)

EAD=ECF (=60^o)

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF (g.c.g)

\(\Rightarrow\)AE=CF (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)AC-AE=BC-CF (AC=BC \(\Delta\)ABC đều)

\(\Rightarrow\)EC=BF

Mà EC=AD

\(\Rightarrow\)BF=AD

Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)BFD có:

AD=BF (cmt)

DAE=DBF (=60^o)

AE=BD (cmt)

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD (c.g.c)

\(\Rightarrow\)ADE=BFD (2 góc tương ứng)

Mà ADE=90^o

\(\Rightarrow\)BFD=90^o

\(\Rightarrow\)DF \(\perp\)BC (đcm)

b) Vì \(\Delta\)ADE=\(\Delta\)CÈ

\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD

\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)BFD

\(\Rightarrow\)DE=EF=FD (cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta\)DEF đều (đpcm)